第一讲行程问题。
走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：
距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；
速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；
时间行走或移动所花时间。
这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：
距离=速度×时间。
很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量。从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如。
总量=每个人的数量×人数。
工作量=工作效率×时间。
因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题。
当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味。它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容。因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧。
这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米。
一、追及与相遇。
有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他。这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差。
如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离。
= 甲的速度×时间-乙的速度×时间。
=（甲的速度-乙的速度）×时间。
通常，“追及问题”要考虑速度差。
例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？
解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间。
此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此。
所用时间=9÷6＝1.5（小时）.
小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是。
面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.
城门离学校的距离是。
48×1.5＝72（千米）.
答：学校到城门的距离是72千米。
例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米。为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米。问家到公园多远？
解一：可以作为“追及问题”处理。
假设另有一人，比小张早10分钟出发。考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是。
50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）·
因此，小张走的距离是。
75× 20＝ 1500（米）.
答：从家到公园的距离是1500米。
还有一种不少人采用的方法。
家到公园的距离是。
一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路。
例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶。如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上。问自行车的速度是多少？
解一：自行车1小时走了。
30×1-已超前距离，自行车40分钟走了。
自行车多走20分钟，走了。
因此，自行车的速度是
答：自行车速度是20千米/小时。
解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差。
1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：
马上可看出前一速度差是15.自行车速度是。
35- 15＝ 20（千米/小时）.
解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同。这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算。
例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
解：画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了。
8-4＝4（千米）.
而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.
但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了。
4＋12＝16（千米）.
少骑行24-16＝8（千米）.
摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟。
答：这时是8点32分。
下面讲“相遇问题”.
小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离。如果两人同时出发，那么。
甲走的距离+乙走的距离。
=甲的速度×时间+乙的速度×时间。
=（甲的速度+乙的速度）×时间。
“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和。
例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟。他们同时出发，几分钟后两人相遇？
解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍。如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是。
36÷（3＋1）＝9（分钟）.
答：两人在9分钟后相遇。
例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米。两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离。
解：画一张示意图。
离中点1千米的地方是a点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米。从出发到相遇，小张比小王多走了2千米。
小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是。
2÷（5-4）＝2（小时）.
因此，甲、乙两地的距离是。
（5＋ 4）×2＝18（千米）.
本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题。
重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想。千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.
请再看一个例子。
例7 甲、乙两车分别从a，b两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于c点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从a，b两地同时出发相向而行，则相遇地点距c点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从a，b两地同时出发相向而行，则相遇地点距c点16千米。求a，b两地距离。
解：先画一张行程示意图如下。
设乙加速后与甲相遇于d点，甲加速后与乙相遇于e点。同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的。不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在d点相遇，还是在e点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键。
下面的考虑重点转向速度差。
在同样的时间内，甲如果加速，就到e点，而不加速，只能到 d点。这两点距离是 12＋ 16＝ 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时。因此，在d点。
（或e点）相遇所用时间是。
28÷5＝ 5.6（小时）.
比c点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）.
甲到达d，和到达c点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是。
12÷0.4＝30（千米/小时）.
同样道理，乙的速度是。
16÷0.4＝40（千米/小时）.
a到 b距离是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.
答： a，b两地距离是 420千米。
很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.
例8 如图，从a到b是1千米下坡路，从b到c是3千米平路，从c到d是2.5千米上坡路。小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时。
问：（1）小张和小王分别从a， d同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？
（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？
解：（1）小张从 a到 b需要 1÷6×60＝ 10（分钟）；小王从 d到 c也是下坡，需要 2.5÷6×60＝ 25（分钟）；当小王到达 c点时，小张已在平路上走了 25-10＝15（分钟），走了。
因此在 b与 c之间平路上留下 3- 1＝ 2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是。
2 ÷（4＋ 4）×60＝ 15（分钟）.
从出发到相遇的时间是。
25＋ 15＝ 40 （分钟）.
（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达b点，从b点到 a点需要走 1÷2×60=30分钟，即他再走 60分钟到达终点。
小张走15分钟平路到达d点，45分钟可走。
小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.
答：40分钟后小张和小王相遇。小王到达终点时，小张离终点还有1千米。
二、环形路上的行程问题。
人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关。
例9 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是180米/分。
（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？
（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
解：（1 ）75秒-1.25分。两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程。小张的速度是。
500÷1.25-180=220（米/分）.
（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是。
500÷（220-180）＝12.5（分）.
220×12.5÷500＝5.5（圈）.
答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王。
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