1． 如图，在中 ad⊥bd,点e,f分别在上，且满足ad=ae=df,连接。
1）若∠cdb=， 求∠eaf的度数；(2)若de⊥ef,求证：de=2ef
2. 如图，在等腰中，，，为斜边延长线上一点，过点做的垂线交其延长线于点，在的延长线上取一点，使得=，连接。
1）若=2， =3，求的长度。
2）为中点，连接，求证：
3、如图，在菱形abcd中，e是bc延长线上一点，连接ae，使得∠b=∠e，过d作。
dh⊥ae于h
1）若ab=10,dh=6, 求he的长；
2）求证：ah=ce+eh
4、在□abcd中，f为cd上一点，且bf=ad,e为df的中点，且∠aeb= ,过点a作ah ⊥bf,垂足为h,交be于g，连接fg
1）若eg=1，ag=3，求be的长。
2）求证：∠fge+ ∠dag=
2024年重庆中考第24题训练15
1、已知：如图，在△abc中，ab=ac，延长bc到d，使bd=2bc，连接ad，过c作ce⊥bd交ad于点e，连接be交ac于点o.
1）求证：∠cad=∠abe.
2）求证：oa=oc
2、如图，△abc中，ca=cb，∠acb=90，d为△abc外一点，且ad⊥bd，bd交ac于e，g为bc上一点，且∠bcg＝∠dca，过g点作gh⊥cg交cb于h．
1）求证：cd＝cg；
2）若ad＝cg，求证：ab＝ac＋bh．
3、已知，如图，在rt△abc中，∠acb=90°，点d为ab中点，连接cd．点e为边ac上一点，过点e作ef∥ab，交cd于点f，连接eb，取eb的中点g，连接dg、fg．
1）求证：ef=cf；
2）求证：fg⊥dg．
4、如图，正方形abcd的对角线相交于点o．点e是线段do上一点，连接ce．点f是∠oce的平分线上一点，且bf⊥cf与co相交于点m．点g是线段ce上一点，且co=cg．
1）若of=4，求fg的长；
2）求证：bf=og+cf．
2013如皋市模拟）如图，在菱形abcd中，e为边bc的中点，de与对角线ac交于点m，过点m作mf⊥cd于点f，∠1=∠2．
求证：（1）de⊥bc； （2）am=de+mf．
证明：（1）∵四边形abcd是菱形，∴∠bca=∠acd，ab∥cd．
∠1=∠acd．
∠1=∠2，∠acd=∠2．
mc=md．∵mf⊥cd，∠cfm=90°，cf=
cd．e为bc的中点，ce=be=
bc．cf=ce．∵cm=cm，在△cfm和△cem中，△cfm≌△cem（sas）．
∠cem=∠cfm=90°，即de⊥bc．
2）延长ab交de于点n，ab∥cd，ce=be，ne=de，∠n=∠2．
∠1=∠2，∠1=∠n．
am=mn．
nm=ne+me，am=de+me．
me=mf，am=de+mf．
参***。如图，等边△abc中，点e、f分别是ab、ac的中点，p为bc上一点，连接ep，作等边△epq，连接fq，ef．
1）若等边△abc的边长为20，且∠bpe=45°，求等边△epq的边长；
2）求证：bp=ef+fq．
1）解：过点e作em⊥bc于m∵等边△abc，∴∠b=60°，∵e为ab的中点， ∴be=
ab=10，在rt△bem中，sinb=
em=5在rt△emp中，sin∠epm=
ep=5即等边△epq的边长为5
2）证明：取bc的中点n，连接ne，等边△abc，ab=bc，e为ab的中点，f为ac的中点，n为bc的中点，ef=
bc，be=
ab，bn=
bc，ef∥bc，ef=be=bn，∠b=60°，△ebn是等边三角形，en=bn=ef，∠enb=60°，ef∥bc，∠fen=60°，∠1+∠2=60°，等边△epq，ep=eq，∠peq=60°，∠2+∠3=60°，∠1=∠3，在△enp和△efq中，△enp≌△efq（sas），np=fq，bp=bn+np=ef+fq．
如图，在四边形形abcd中，ad∥bc，∠a=900, 点e为cd边的中点，be⊥cd，且∠fbe=2∠ebc．**段ad上取一点f，**段be上取一点g,使得bf=bg，连接cg．
1）若ab=af，eg=，求线段cg的长；
2）求证：∠ebc+∠ecg =30°．
解：（1）连接bd，点e为cd边的中点，be⊥cd
bd=bc∠dbe=∠cbe
∠fbe=2∠ebc，∠dbe=∠cbe=∠dbf
bf=bg，△fbd≌△gbc，∠dfb=∠cgb
∠dfb+∠afb=∠cgb+∠cge=180°
∠afb=∠cge
ab=af，∠a=90°，∠afb=∠cge=45°
eg=ce=
在rt△egc中，gc=
2）由（1）可知：
fbd≌△gbc
∠fdb=∠dbc=2∠ebc，∠gbc+∠gcb=∠egc，∠egc=∠gbc+2∠ebc=3∠ebc，∠egc+∠ecg=90°，3∠ebc+∠ecg=90°，∠ebc+
ecg=30°．
如图，正方形abcd的对角线相交于点o．点e是线段do上一点，连接ce．点f是∠oce的平分线上一点，且bf⊥cf与co相交于点m．点g是线段ce上一点，且co=cg．
1）若of=4，求fg的长；
2）求证：bf=og+cf．
1）解：∵cf平分∠oce，∠ocf=∠ecf．
oc=cg，cf=cf，在△ocf和△gcf中，△ocf≌△gcf（sas）．
fg=of=4，即fg的长为4．
2）证明：在bf上截取bh=cf，连接oh．
四边形abcd为正方形，ac⊥bd，∠dbc=45°，∠boc=90°，∠ocb=180°-∠boc-∠dbc=45°．
∠ocb=∠dbc．
ob=oc．
bf⊥cf，∠bfc=90°．
∠obh=180°-∠boc-∠omb=90°-∠omb，ocf=180°-∠bfc-∠fmc=90°-∠fmc，且∠omb=∠fmc，∠obh=∠ocf．
在△obh和△ocf中。
△obh≌△ocf（sas）．
oh=of，∠boh=∠cof．
∠boh+∠hom=∠boc=90°，∠cof+∠hom=90°，即∠hof=90°．
∠ohf=∠ofh=
180°-∠hof）=45°．
∠ofc=∠ofh+∠bfc=135°．
△ocf≌△gcf，∠gfc=∠ofc=135°，∠ofg=360°-∠gfc-∠ofc=90°．
∠fgo=∠fog=
180°-∠ofg）=45°．
∠gof=∠ofh，∠hof=∠ofg．
og∥fh，oh∥fg，四边形ohfg是平行四边形．
og=fh．
bf=fh+bh，bf=og+cf．
如图，点e是正方形abcd的边bc上的一点，∠dae的平分线af交bc的延长线于点f，交cd于点g
1）若ab=8，bf=16，求ce的长；（2）求证：ae=be+dg．
解：（1）∵四边形abcd是正方形，∴ab=bc=8，∠b=90°，ad∥bc，∠dag=∠f，∵af平分∠dae，∴∠dag=∠eaf，∴∠eaf=∠f，∴ae=ef，设ce=x，则bc=8-x，ef=ae=8+x，在rt△abe中，由勾股定理得：82+（8-x）2=（8+x）2，x=2，解ce=2；
证明：延长cb到m，使bm=dg，连接am，四边形abcd是正方形，∠d=∠abm=90°，ad=ab，ab∥cd，∠3=∠2+∠5=∠4，在△abm和△adg中。
△abm≌△adg，∠4=∠∠m，∠1=∠6，∠1=∠2（角平分线定义），∠2=∠6，∠4=∠m=∠3=∠2+∠5=∠6+∠5，即∠m=∠mae，ae=be，bm=dg，ae=be+dg．
如图，ac为正方形abcd的一条对角线，点e为da边延长线上的一点，连接be，在be上取一点f，使bf=bc，过点b作bk⊥be于b，交ac于点k，连接cf，交ab于点h，交bk于点g．
1）求证：bh=bg；
2）求证：be=bg+ae．
1）证明：∵四边形abcd是正方形，∴∠abc=90°，即∠abk+∠cbg=90°，bk⊥be，∴∠abk+∠fbh=90°，∴fbh=∠cbg，∵bf=bc，∴∠bfh=∠bcg，∠bhg=∠bfh+∠fbh，∠bgh=∠bcg+∠cbg，∴∠bhg=∠bgh，∴bh=bg；
2）在bf上截取bn=bh，连接nh，an交fc于o，∵四边形abcd是正方形，∴ab=bc，∵bf=bc，∴bf=ba，在△bhf和△bna中，bh＝bn ∠hbf＝∠nba bf＝ba，∴△bhf≌△bna（sas），∴bfh=∠ban，在△fon和△aoh，∠bfh=∠ban，∠fon=∠aoh，∴∠ena=∠ahf，∠ahf=∠bhc=90°-∠hcb，∵∠bfh=∠ban=∠hcb，∴∠ena=∠ahf=90°-∠ban，∠ean=90°-∠ban，∴∠ean=∠ena，∴ne=ae，∴be=bn+ne=bh+ae=bg+ae．
如图，p为正方形abcd边bc上一点，f在ap上，且af=ad，fe⊥ap交cd于点e，g为cb延长线上一点，bg=de，（1）求证：；（2）若de=2，ab=4，求ap的长。
证明：连结ae在rt⊿ade和rt⊿afe中af=ad,ae=ae∴⊿ade≌⊿afe
∠dae=∠eaf=1/2∠dap又∵bg=de,ab=ad,∠ade=∠abg∴⊿ade≌abg
∠bag=∠dae=1/2∠dap ∴ pag= ∠bag+∠bap=∠bap+1/2∠dap
2)连结ep ∵⊿ade≌⊿afe∴de=ef=ec=2∵ep=ep ⊿efp≌ecp ∴cp=fp
设ap=x,则fp=pc=x-4 pb=4-(x-4)=8-x∴在rt⊿abp中，ab+bp=ap ∴4+(8-x)=x ∴ap=x=5
2、已知：如图，矩形abcd中，点e在边ab上，∠deb的平分线ef交bc的延长线于点f，且ab=bf，连接df．
1）若tan∠fdc=
2024年重庆中考数学第24题训练题
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