1、 （2014北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数m＞0，对于任意的函数值y，都满足-m≤y≤m，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（-4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
2）若函数y=-x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
3）将函数y=x2（-1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？
2．（2014黔西南州）已知点p（x0，y0）和直线y=kx+b，则点p到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算．
例如：求点p（-2，1）到直线y=x+1的距离．
解：因为直线y=x+1可变形为x-y+1=0，其中k=1，b=1．
所以点p（-2，1）到直线y=x+1的距离为d===
根据以上材料，求：
1）点p（1，1）到直线y=3x-2的距离，并说明点p与直线的位置关系；
2）点p（2，-1）到直线y=2x-1的距离；
3）已知直线y=-x+1与y=-x+3平行，求这两条直线的距离．
3．（2014顺义区一模）设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．
1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2-2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．
4．（2014佛山）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．
如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．
1）如图，若b1b=30米，∠b1=22°，∠abc=30°，求ac（精确到1）；
参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）
2）如图2，若∠abc=30°，b1b=ab，计算tan15°的值（保留准确值）；
3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）
5．（2014安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
2）已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点a（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
1：（1）根据有界函数的定义知，函数y=（x＞0）不是有界函数．
y=x+1（-4≤x≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3；
2）∵函数y=-x+1的图象是y随x的增大而减小，当x=a时，y=-a+1=2，则a=-1
当x=b时，y=-b+1．则，-1＜b≤3；
3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于-1，此时函数的边界t≥1，与题意不符，故m≤1．
当x=-1时，y=1 即过点（-1，1）
当x=0时，y最小=0，即过点（0，0），都向下平移m个单位，则。
-1，1-m）、（0，-m）≤1-m≤1或-1≤-m≤-，0≤m≤或≤m≤1．
20．解：（1）∵点p（1，1），点p到直线y=3x-2的距离为：
d==0，点p在直线y=3x-2上；
2）由题意，得。
y=2x-1
k=2，b=-1．
p（2，-1），d==．
点p（2，-1）到直线y=2x-1的距离为；
3）在直线y=-x+1任意取一点p，当x=0时，y=1．
p（0，1）．
直线y=-x+3，k=-1，b=3，d=，两平行线之间的距离为．
2解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”，理由如下：
反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2014；
当x=2014时，y=1，所以，当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014，符合闭函数的定义，故。
反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”；
2）分两种情况：k＞0或k＜0．
当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，解得．
此函数的解析式是y=x；
当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，解得．
此函数的解析式是y=-x+m+n；
3）∵y=x2-2x= (x2-4x+4)-2= (x-2)2-2，该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．
当c＜2＜d时，此时二次函数y=x2-2x的最小值是-2=c，根据“闭函数”的定义知，d=c2-2c或d=d2-2d；
）当d=c2-2c时，由于d=×（2）2-2×（-2）=6＞2，符合题意；
）当d=d2-2d时，解得d=0或6，由于d＞2，所以d=6；
当c≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，解得，c＜d，不合题意，舍去．
综上所述，c，d的值分别为-2，6．
3．解：（1）在rt△abc中，tan∠abc=，则bc=，同理，b1c=，b1b=b1c-bc，ac=30，解得：ac≈39（米）；
2）∵b1b=ab，∠b1=∠b1ab=∠abc=15°，设b1b=ab=x，在rt△abc中，∠abc=30°，ac=ab=x，bc=x，b1c=x+x，tan15°=；
3）如答图3所示，图中三角形依次是含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形．
设ac=a，则ab=2a，bc=．
b1b=ab=2a，b1c=2a+a=（2+）a．
在rt△ab1c中，由勾股定理得：ab1=，b2b1=ab1=2，b2c=b2b1+b1c=
tan7.5°=tan∠ab2c=tan=,tan7.5°=．
4 解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x-h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x-3）2+4．
2＞0，该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x-3）2+4．
3＞0，该二次函数图象的开口向上．
两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4顶点相同，开口都向上，两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4是“同簇二次函数”．
符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4．
2）∵y1的图象经过点a（1，1），2×12-4×m×1+2m2+1=1．
整理得：m2-2m+1=0．
解得：m1=m2=1．
y1=2x2-4x+3
2（x-1）2+1．
y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5
（a+2）x2+（b-4）x+8
y1+y2与y1为“同簇二次函数”，y1+y2=（a+2）（x-1）2+1
（a+2）x2-2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞-2．
解得：．函数y2的表达式为：y2=5x2-10x+5．
y2=5x2-10x+5
5（x-1）2．
函数y2的图象的对称轴为x=1．
5＞0，函数y2的图象开口向上．
当0≤x≤1时，函数y2的图象开口向上，y2随x的增大而减小．
当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0-1）2=5．
当1＜x≤3时，函数y2的图象开口向上，y2随x的增大而增大．
当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3-1）2=20．
综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．
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