ⅲ．障碍分析。
1．如何把一个命题改成“若p则q”的形式？
当把一个命题改写成为“若p则q”形式时，一定要抓住命题主要的思想内容．例：改写“等式两边都乘以同一个数，所得结果仍为等式”时易出现下面的错误：“若等式两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式”．其实此命题的思想内容是“等式→等式乘以同一个数”是前提．正确的写法为：
“若一个式子是等式，则两边同乘以一个数所得结果仍为等式”．再如：“a＞0时函数y＝ax＋b的值随x值增加而增加．”它的思想内容是强调了“x增加→y增加”，因此改写成若p则q的形式时为：“a＞0时，若x增加，则y＝ax＋b的值也增加”．而不应该是：
“若a＞0，则函数y＝ax＋b的值随x增加而增加”．由此可以看出，在将一个命题改写成“若p则q”形式时，一定要先理解命题的思想内容．
2．“ p”与“p”的否命题的区别是什么？
p”只否定p的结论(否一)，而“p的否命题”既否定p的条件，又否定p的结论(否二)．如：写出命题“若x≠1，则x2－2x＋1＞0”的否定和否命题．若所给命题用p表示，则p的否定就是求命题p，只须否定p的结论，而求p的命题则要把p的条件和结论都否定，即命题“若x≠1，则x2－2x＋1＞0”的否定为“若x≠1，则x2－2x＋1≤0”，否命题为：“若x＝1，则x2－2x＋1≤0”．
3．如何正确使用否定词？
在写一个命题的否命题时，往往需要对正面叙述的词语进行否定，而对有些词语的否定一不小心就容易出错．因此要掌握一些常见关键词语的否定．现列表如下：
例1］将命题“正数a的平方大于零”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
思路：解决本题的关键是找出原命题的条件与结论，然后再根据定义写出其他命题．
解：原命题可以写成：若a是正数，则a的平方大于零．
逆命题：若a的平方大于零，则a是正数．
否命题：若a不是正数，则a的平方不大于零．
逆否命题：若a的平方不大于零，则a不是正数．
误区点评：应当注意分清原命题中的条件p与结论q，不然写出的其他命题形式有可能“面目全非”．
在四种命题关系中原命题与逆命题；逆否命题与逆命题真假间没有必然联系．但原命题与逆否命题；逆命题与否命题同真同假．因而四种命题中的真假个数一定是偶数，即0个或2个或4个．
例2］有下列四个命题：
“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题．
“若m＞n，则m2＞n2”的逆否命题．
“若y≤－3，则y2－y－6＞0”的否命题．
“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是。
a．0b．1
c．2d．3
思路：①的逆命题是：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”为真命题．
“若m＞n，则m2＞n2”是假命题，例：－1＞－9，但(－1)2＜(－9)2．所以其逆否命题也是假命题．
该命题的否命题为：“若y＞－3，则y2－y－6≤0”是假命题．
该命题的逆命题是：“若a，b是无理数，则ab是无理数”这是假命题．
解：选b．点评：①判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，可以利用原命题与逆否命题；逆命题与否命题同真同假这一关系来判断．
判断一个命题为假命题，一般只需举出一个反例即可，无须进行论证．
．思维拓展。
例3］课本p33 2(3)
判断命题“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题的真假．
思路一：间接法，利用原命题与逆否命题同真同假．
解法一：∵m＞0，∴4m＞0
4m＋1＞0，即δ＝4m＋1＞0
方程x2＋x－m＝0有实根．
原命题“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”是真命题．
又∵原命题与它的逆否命题等价．
该命题的逆否命题也为真．
思路二：直接写出该命题的逆否命题，再判断真假．
解法二：原命题“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
x2＋x－m＝0无实根。
δ＝4m＋1＜0，即m＜－≤0
“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”为真．
思路三：从集合的观点判断原命题的真假，进而判断其逆否命题的真假．
解法三：p:m＞0，q:x2＋x－m＝0有实根．
p:a＝｛m∈r｜m＞0｝，q:b＝｛m∈r｜方程x2＋x－m＝0有实根｝＝｛m∈r｜m≥－｝
ab，∴若p则q为真。
它的逆否命题也为真．
思路四：先写出原命题的逆否命题，再从集合的观点判断其真假．
解法四：p:m＞0，q:x2＋x－m＝0有实根．
p:m≤0， q:x2＋x－m＝0无实根．
p:a＝｛m∈r｜m≤0｝
q:b＝｛m∈r｜方程x2＋x－m＝0无实根｝
｛m∈r｜m＜－｝
ba，∴若“q则p”为真．
即：“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”为真．
点评：判断一个命题的真假，可以直接进行逻辑推理判断，也可以借用集合关系来判断，还可以从逆否命题间的等价关系来判断．
．**学习。
有下列命题：
已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空实数解集．
当2m－1＞0时，如果＞0，那么m＞－4．
若a，b是整数，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两整数根．
若a、b都不是整数，则方程x2＋ax＋b＝0无两整数根．
当2m－1＞0时，如果m≤－4，则≤0．
已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空实数解，则a2－4b≥0．
若方程x2＋ax＋b＝0没有两整数根，则a不是整数或b不是整数．
已知a、b为实数，若a2－4b＜0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0的解集为空集．
当2m－1＞0时，如果m＞－4，则＞0．
用序号表示上述命题间的关系(例：②与⑨互为逆命题)：其中(1是互为逆命题；(2互为否命题；(3互为逆否命题．
答案：（1）①与⑥，②与⑨；
2）⑤与⑨；
3）②与⑨．
同步达纲练习】
一、选择题。
1．命题“若aa，则b∈b．”的否命题是。
a．若aa，则bb
b．若a∈a，则bb
c．若b∈b，则aa
d．若bb，则aa
2．命题“正偶数不是质数”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题有个。
a．4b．3
c．2d．0
3．有下列四个命题，其中为真命题的是。
“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
“面积相等的三角形全等”的否命题；
“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
“若a∩b＝b，则ab”的逆否命题．ab．②③
cd．③④
4．命题“若a∩b＝a，则a∪b＝b”的逆否命题是。
a．若a∪b＝b，则a∩b＝a
b．若a∩b≠a，则a∪b≠b
c．若a∪b≠b，则a∩b≠a
d．若a∪b≠b，则a∩b＝a
二、填空题。
5．命题“x或y是零，则xy是零”的逆否命题是。
6．已知m，n是正整数，a是大于1的实数，“若m＞n，则am＞an”的逆否命题是。
7．命题“若a＞b，则ac＞bc”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，有___个真命题．
三、解答题。
8．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
9．判断命题“若x≤－3，则x2－x－6＞0”的否命题的真假．
参***。同步达纲练习】
一、1．b 提示：注意“∈”的否定是“”．
2．a 提示：因为“正偶数不是质数”是假命题，所以其逆否命题也为假，又因其否命题“正偶数是质数”是假命题，所以其否命题也为假．
3．c 提示：④若a∩b＝b，应当ba．
4．c 提示：注意“a∩b＝a”的否定是“a∩b≠a”．
二、5．“x或y是零，则xy是零”的逆否命题是“若xy不是零，则x，y都不是零”．
6．填：已知m，n是正整数，a是大于1的实数，“若am≤an，则m≤n”．
7．0 提示：因为a＞b，c＝0时，ac＝bc，所以原命题为假，又因若“ac＞bc则a＞b”是假命题，所以4个命题均为假命题．
三、8．解：逆命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”是假命题．
否命题：“已知a，b，c，d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d”是假命题．
逆否命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等”是真命题．
9．解：该命题的否命题为：“若x＞－3，则x2－x－6≤0”．
p:a＝｛x｜x＞－3｝
q:b＝｛x｜x2－x－6≤0｝＝｛x｜－2≤x≤3｝
ba，∴若p则q为假．
该命题的否命题为假命题．
第一课时 命题
学习目标 1.理解命题的概念和命题的构成，2 能根据给出的语句判断是不是命题，并写出简单命题的条件和结论 3 能把一个命题改写为 若，则 的形式并利用已有知识判断其真假 4 在解决问题的过程中，初步体会利用逻辑语言表述数学内容的准确性和简洁性 学习重点 命题的概念 命题的构成，及其真假性的判断 学习...
《四种命题及其关系》课时作业
7 命题 若x y是奇数，则x y是偶数 的逆否命题是。8 已知a u u为全集 若aua，则a a 的逆命题是。它是填 真 或 假 命题 9 若x 1，则x2 1 0 的逆否命题为 命题 填 真 或 假 10 下列命题 若k 0，则方程x2 2x k 0有实根 的否命题 若 则a11.设 为两个不...
命题及其关系 第一课时
尝试导学案。学习目标 一 知识与技能。理解命题的概念，会判断语句是否为命题，能够判断命题的真假 会将一个命题改写成 若p，则q 的形式 二 情感态度与价值观。了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣 引导学生形成 自主学习 与 合作学习 等良好的学习方式。教学重点 难点 重点理解命题的概念，会判断语句...