第十八章勾股定理。
第一课时。一、教学目标。
知识与技能。
了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
过程与方法。
介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
情感、态度与价值观。
培养在实际生活中发现问题：总结规律的意识和能力。
二、教学重、难点。
重点：勾股定理的内容及证明。
难点：勾股定理的证明。
三、教学准备。
多**，三角形相关知识。
四、教学方法。
几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次，洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。
几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形的性质与几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变。
五、教学过程。
(一)创设情景，引入新课。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、**、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边分别为3cm和4cm的直角△abc，用刻度尺量出ab的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△abc，用刻度尺量ab的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
由一学生朗读 “毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说。引导学生观察身边的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
拼图实验，探求新知。
1、多**课件演示，引导学生观察思考：
1） 图1中三个正方形会有什么样的关系，你是用什么方法得出的，试说一说你的方法？（关注每一个学生，给学生思考的空间与时间。）
2） 以等腰直角三角形两直角边为长的小正方形的面积与以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么样的关系？
图1图2）归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
2、组织学生小组合作学习。
思考：其他的一般的直角三角形三边之间是否也具备这种特殊关系呢？（多**演示，引导学生观察发现，）
问题（3）算图（2）中三个正方形的面积，它们之间有什么关系，试说一说你的想法。
引导学生用拼图法初步体验结论。
这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明。
归纳验证，得出定理。
猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边度为 c,那么
是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明。到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面，我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的。
用多**课件演示。
小组合作**：
a. 以直角三角三角形abc的两条直角边a,b 为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？
b. 它的面积分别怎样表示？它们有什么关系？
c. 利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法。想一想还有什么方法？
3)从而给出本章的插图的图案。它有什么意义？为什么选它作为2024年在北京召开的国际数学家大会的会徽。事实上勾股定理的证明还有很多种方法。
介绍“定理”的概念，经过证明被确认正确的命题叫做定理，并结合以前学过的具体例子，对定理、公理的的概念加以说明。
命名“勾股定理”，介绍“勾，股，弦”的含义，即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
(二)新课讲解。
例1（补充）已知：在△abc中，∠c=90°，∠a、∠b、∠c的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
拼成如图所示，其等量关系为：4s△+s小正=s大正
4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△abc中，∠c=90°，∠a、∠b、∠c的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边s=4×ab＋c2
右边s=（a+b）2
左边和右边面积相等，即。
4×ab＋c2=（a+b）2
化简可证。三)例题讲解。
例1．勾股定理的具体内容是。
解：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方。
例2．如图，直角△abc的主要性质是：
c=90°，（用几何语言表示）
两锐角之间的关系。
若d为斜边中点，则斜边中线。
若∠b=30°，则∠b的对边和斜边。
三边之间的关系。
解：∠a+∠b=90°；⑵cd=ab；⑶ac=ab；⑷ac2+bc2=ab2。
例3．已知△abc的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则 =90°； 若满足b2= a2＋c2，则 =90°； 若满足b2＞c2＋a2，则∠b是角； 若满足b2＜c2＋a2，则∠b是角。
解：b，钝角，锐角；
例4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
解：因为s梯形abcd = s△abe+ s△bce+ s△eda，又因为s梯形acdg=（a+b）2，s△bce= s△eda= ab，s△abe=c2, （a+b）2=2×ab＋c2。
四）巩固练习。
1．已知在rt△abc中，∠b=90°，a、b、c是△abc的三边，则。
c已知a、b，求c）
a已知b、c，求a）
b已知a、c，求b）
2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b、c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。
3．在△abc中，∠bac=120°，ab=ac=cm，一动点p从b向c以每秒2cm的速度移动，问当p点移动多少秒时，pa与腰垂直。
4．已知：如图，在△abc中，ab=ac，d在cb的延长线上。
求证：⑴ad2－ab2=bd·cd
若d在cb上，结论如何，试证明你的结论。答案：
2． ；则b=，c=；当a=19时，b=180，c=181。
3．5秒或10秒。
4．提示：过a作ae⊥bc于e。
五）课堂小结。
1、本节课学到了什么数学知识？
2、你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？
3、你还有什么困惑？
六、板书设计。
七、课后作业。
1．已知在rt△abc中，∠b=90°，a、b、c是△abc的三边，则。
c已知a、b，求c）
a已知b、c，求a）
b已知a、c，求b）
2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。
3．在△abc中，∠bac=120°，ab=ac=cm，一动点p从b向c以每秒2cm的速度移动，问当p点移动多少秒时，pa与腰垂直。
4．已知：如图，在△abc中，ab=ac，d在cb的延长线上。
求证：⑴ad2－ab2=bd·cd
若d在cb上，结论如何，试证明你的结论。
答案：1．⑴c=；⑵a=；⑶b=
2． ；则b=，c=；当a=19时，b=180，c=181。
3．5秒或10秒。
4．提示：过a作ae⊥bc于e。
八、教学反思。
转变师生角色，让学生自主学习。由同学们的作图，我们发现有的直角三角形的三边具有这种关系，有的直角三角形不具有这种性质。当然作图存在着误差。
可仍然证明不了我们的猜想是否正确。下面我们用拼图的方法再来验证一下。请同学们拿出准备好的直角三角形和正方形，利用拼图和面积计算来证明a2+b2=c2（学生分组讨论。
）学生展示拼图方法，课件辅助演示。
新课标下要求教师个人素质越来越高，教师自身要不断及时地学习新知识，接受新信息，对自己及时充电、更新，而且要具有诙谐幽默的语言表达能力。既要有领导者的组织指导能力，更重要的是要有被学生欣赏佩服的魅力，只有学生配合你，信任你，喜欢你，教师才能轻松驾御课堂，做到应付自如，高效率完成教学目标。
数学的创造性不能没有逻辑思维，学习数学可以帮助养成理性思考的习惯。数学并不是公式的堆垒，也不是图形的汇集，数学有逻辑性很强的体系。数学不是只强调计算与规则的课程，而是讲道理的课程。
培养与运用逻辑思维，并不是不顾及学生的可接受性一味地片面强调推理的严密和体系的完整，而是既要体现逻辑推理的作用，又不片面夸大它。几何的教学体系有别于几何的科学体系，在几何教学中，讲道理并完全不等同于纯粹的形式证明，几何教学培养逻辑思维能力同样要有的放矢，循序渐进，从直观到抽象，从简单到复杂……
二转变教学方式，让学生探索、研究、体会学习过程 。
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