《两角差的余弦公式》第一课时。
球溪高级中学罗亮。
一、教材分析。
1.地位和作用：
本节课教学内容是人教a版《数学》必修４第三章第一节第一课时《两角差的余弦公式》.由于实际生活中需要解决两角和差的三角函数与单个角的三角函数的关系，所以本节从两角差的余弦公式入手，解决此类问题，于是教材从探索发现两角差的余弦公式开始，并通过向量这一有力的工具，结合三角函数有关的知识来证明公式，使学生掌握公式的结构和特点，然后通过简单运用巩固公式。其次，公式本身也是后面各公式的推导基础和“源头”，其地位显而易见，也是前面所学三角函数的继续与发展，因此，起着承上启下的核心作用。
2.重点与难点：
重点：两角差的余弦公式的探索和简单应用。
难点：两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导。
二、教学目标。
1.知识目标：
1）借助单位圆中的三角函数线和向量的方法推导两角差的余弦公式。
2）掌握公式的结构和特点，能够简单运用公式，为以后公式的推导打好基础。
2.能力目标：
1）培养学生逻辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意识。
2）在**过程中体会从特殊到一般，分类讨论，数形结合等多种数学思想。
3）通过公式的**、灵活运用，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感目标：
1）通过公式的推导论证过程，培养学生学习数学的严谨 、求实的科学态度。
2）通过教师启发引导，鼓励学生大胆尝试，培养学生勇于探索创新的精神。
3）通过鉴赏c(α-公式，发现其和谐匀称结构，让学生感受数学公式的美感。
三、学情分析。
1. 由于前面已经学习了三角函数和平面向量的一些知识，掌握了一些数学的学习方法，为本节课的学习建立了良好的基础。但学生要发现并证明公式c(α-学生的数学表达能力和逻辑推理能力还很有限，特别是发现公式，从某种程度上说比证明更困难。
不过，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望，只要充分调动他们的积极性，教师适时引导和启发，学生还是能在合作**，愉悦的氛围中完成本课的学习任务的。
2.学法指导：
1、教师应该在课前简单复习一下本课要用到的一些知识点，如三角函数线，向量的数量积等。
2、在学生自主**过程中，教师要从某些角度启发引导学生去发现公式，应该给出一些证明方法的提示性问题，引导学生去推导公式。
3、本课重在让学生体验**公式的过程，教师要多鼓励学生，对培养学生的**意识非常有好处。
四、教学方法。
教学方法：启发引导式，自主**法。
教学手段：多**(幻灯片课件，计算器等工具)
.课堂模式：借以导学案为载体，推广我校实施的“高效课堂”，让学生全员参与，充分调动学生的积极性，采用如下课堂模式：
即分为四组，每组学生面对面，四周都是过道，教师随时可走到任何一个学生的旁边，学生既可相互讨论，又可交流学习方法，既可相互答疑释惑，又可当面请教老师，这样才真正体现以学生为主体，以教师为主导的作用，另外利用前后黑板，鼓励学生大胆展示自己的成果，从而获得自信。
五、教学设计。
总体设计思路：通过学生预习教材，让学生知道是实际生活的需要必须研究和差角的三角公式。突出发现猜想、寻求论证方法、严格证明这条主线，以形式多样的教学活动为渠道，以层层递进的问题为引导，体现以学生**为中心的教学理念。
通过第一个发现活动发现公式并提出猜想，通过第二个**活动启发引导学生从不同的角度，不同的方法证明公式，最后通过解题活动让学生运用公式，达到掌握公式的目标。 为此我将教学过程设计为五个环节（ 1、复习与回顾；2、新课引入；3、公式**；4、归纳总结；5、布置作业）、三个活动。
1.复习与回顾---温故而知新（复习问题略）
2.新课引入---提出学习课题，明确学习目标。
1）预习教材：阅读章头实际问题。
2）创设情境——提出问题，导入新课。
问题：我们都知道cos60°=,cos45°=,那么用它们两个可以计算cos15°吗？学生会想到cos15°=cos(60°-45°) cos60°-cos45°更一般的cos(α-cosα-cosβ，如果不是，不查表或使用计算器又该怎样求出其值呢？
设计意图：通过学生预习教材后，知道由于实际生活的需要，必须解决和差角的三角函数与单个角的三角函数的关系，于是提出便于研究的问题，由此激发学生的求知的欲望）
(2)观察归纳——感性认知，提出猜想。
1发现猜想：提出问题后，教师组织学生用计算器计算完成下列**，验证后得出cos(α-cosα-cosβ，观察下面表中诱导公式，当角前后变化时，其余弦的三角函数值都与角的正弦、余弦的关系，并让学生观察表中的数据，自行**并发现式子的值与式子的值的关系，从而猜想：。
设计意图：引导学生发现问题，形成自主**的意识，寻求解决问题的方法]
3.知识探索---探索公式由来，深化新课内容。
探索过程中，学生一般要经历：(1)提出猜想： （2）理性思考，讨论研究问题，寻求论证方法 （3）严格证明，解决问题。
2**论证：按照我的课堂模式，同时使活动有序高效的进行，我将明确每组学生的任务，活动细节如下：（教师**幻灯片，给出证明方法提示）
一组、二组任务：如图1由于这里涉及的是三角函数的问题，自然想到利用前面学过的单位圆上的三角函数线去证明：,引导学生以退求进，先讨论、、都是锐角的情况．当、、都是锐角时，我们又该怎么办？
怎样作出角、、？怎样作出角的余弦线，与猜想公式左边联系发现什么？
得到余弦线后，它等于哪些线段的和？④如何用线段分别表示sinβ和cosβ？ 图1 图2
将③④得到的结果与猜想公式右边联系起来，你有什么发现？
三组、四组任务：如图2由于这里涉及有α-β这个角的余弦问题，想到数量积的夹角公式可用，于是从向量的数量积的角度去证明：,怎样作出角、、？
设角α，β的终边与单位圆的交点分别为a、b，则a、b的坐标？③向量，的坐标是什么？④，的数量积用定义如何计算？
得到后与左边联系有何发现？，的数量积用坐标运算的表示式是怎样的？ 得到后与右边联系有何发现？
由一组、三组的代表将证明的过程写在前黑板，二组、四组的代表将证明的过程写在后黑板）
学生完成证明后，教师再用多**演示，用动画的形式使得证明过程更直观，同时也是告诉学生规范的证明过程，这是学习数学必须的品质。
设计意图：教师组织学生分组活动，相互讨论，合作学习，目的是让学生体验**的过程，锻炼学生的思维品质。同时学生在**过程中会体会到向量方法的优越性---简洁，明了，从而重视此法）
3灵活运用：公式应用---即时训练，巩固新知， 求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题。
典型例题。例1】求的值
例题的设计意图：通过基础题目的练习，加强学生对公式的理解和应用，同时例1解决了课前提出的问题，起到前后呼应的作用）
由一组、三组的代表将证明的过程写在前黑板，二组、四组的代表将证明的过程写在后黑板，活动结束后教师多**演示，规范解题过程）
变式训练（通过幻灯片给出）
1．求值 2．化简
设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解，使学生掌握公式的正用，逆用，变角使用，培养学生的灵活思维品质，提高学生的数学思维能力，体现思维的创新意识）
重难点突破：
一）**活动：第三环节是整节课的主体，由三个活动组成，活动1完成发现公式，活动2由四组学生分别用不同的方式方法完成证明公式，活动3完成巩固公式，整个活动教师只是一个是引路人，答疑释惑，更重要是一个活动的组织者，主导着学生顺利高效的完成任务，达到教学目标。同时，在教师层次递进的提示问题引导下，给学生指明了方向，**才得以顺利，学生最后收获成功的喜悦。
二）疑点易错点：活动中，教师走到学生中去，及时排难解惑，反馈矫正：学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚：
像在。一、二组用单位圆上的三角函数线方法中，角α、β均为锐角，且α>β要对任意角α、β公式都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程比较繁琐。
而像。三、四组用数量积的夹角公式方法中，角α-β必须符合条件0≤α-对α、β都是任意角，以上公式是否正确也要仔细考虑。引导学生思考：
当α-β是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角θ∈［0,2π),有α＝2kπ＋β或β＝2kπ＋α且cosθ=cos(α-分为两种情况θ∈［0,π］和θ∈［2π］经过运算仍可以得到。
三）发掘教材：
1）公式要形式化，抽象化：,这里为任意实数（角以弧度为单位就是实数），和为适当的角时可得到已经学过的诱导公式，及要学的和差的角正弦，余弦公式，倍角公式等。再如设。
这就与我函数里的抽象函数联系起来了。
2)向量的优越性： 向量是新课标的重要内容之一，作为一种工具，在一定程度上可以使几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，形成一种新的思维方式。在指导学生进行做题时适当的渗透向量法往往可以开阔学生的解题思路。
又如，我们教材前面的习题中就出现了这个题，如图，用向量证明公式。只需利用，有图可知而｜p1p3｜＝，p2p4｜＝化简后得
这是下一课时要学到的公式，用向量的方法解决非常方便，同时也告诉我们两角和差的余弦先证哪一个都是一样的，重在向量的方法是我们要深刻体会的，同时也告诉学生向量方法的重要性，做题中要善于使用它。
3）“算两次”原理（又称富比尼（原理）：第二种方法里，数量积先用坐标计算，后又用定义计算，两次结果相等，最后得出公式。这就是“算两次”原理，作为一种重要的数学解题方法，其实质是将同一个量从两个不同的角度计算两次，利用“殊途同归”的等量关系达到“出奇制胜”的目的。
举个例子，众所周知的勾股定理的古老证明法---拼图法就用到了这个原理。
图1图2图3图4
又比如，类似勾股定理的拼图证明法，如图3中菱形的面积等于图4中两个矩形的面积和，从而，（为锐角）即得到两角和得正弦公式，这是下一课时又学到的公式。我想说的是，教材中用的“算两次”思想对学习数学的人非常重要，我们要深刻领会，教师对有余力的学生要适当予以帮助，训练学生的思维非常有好处，也可以领略到数学的无穷魅力。
高一数学等差数列第一课时教案
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