《线性代数》模拟试题（三）
一、 选择题（每小题4分，共24分）
1. 设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（ ）
（ab） （cd）的关系依而定。
2．若，为同阶正交阵，则下列矩阵中不一定是正交阵的是（ ）
（ab） （cd）
3.阶矩阵的行列式不为零，经过若干次初等变换变为，则（ ）
（ab） c）与有相同的正负号 （d）可以变为任何值。
4. 设和都是阶方阵，下列各项中，只有正确。
a） 若和都是对称阵，则也是对称阵。
b） 若，且，则。
c） 若是奇异阵，则和都是奇异阵。
d） 若是可逆阵，则和都是可逆阵。
5. 向量组线性相关的充要条件是。
（a）中有一个零向量。
（b）中有两个向量的分量成比例。
（c）中有一个向量是其余向量的线性组合。
（d）中任意一个向量是其余向量的线性组合。
6．设，，为阶方阵，且，则。
（a） （b） （c） （d）
二、 填空题（每空格4分，共24分）
1. 设三阶方阵的特征值为1，2，3，则。
2. 设为正定二次型，则的取值范围为。
3. 设，则。
4. 四阶行列式。
5. 设阶方阵的元素全为1，则的个特征值为。
6. 设是非齐次线性方程组的个解，若也是它的解，则。
三、计算题（10+10+12+12=44分）
1. 解矩阵方程，其中，.
2. 求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示：
3. 设三阶方阵有特征值，，，对应特征向量，1） 求；
2） 设，求。
4. 向量组讨论取何值时，1）能由线性表示，且表示式唯一；
2）能由线性表示，且表示式不唯一；
3）不能由线性表示。
四、证明题（4+4分）
1. 设阶方阵的秩为，，证明。
2. 设是阶方阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，但，证明向量组是线性无关的。
线性代数》模拟试题（三）参***。
一、选择题（每题4分，共24分）
1. c 2. b 3. b 4. d 5. c 6. c
二、填空题（每题4分，共24分）
5. （个6. 1 .
三、 计算题（10+10+12+12）
1. 解：由，得。
为此对矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵，所以 .
2. 解：对施行初等行变换变成行最简形，所以，的前三列是的列向量组的最大无关组，且
3. 解：（1）取，由于，故为可逆矩阵，可相似于对角矩阵，即。
所以， .2）由，得，所以。
4. 解：
1）当时，，可由线性表示，且表示式不唯一；
2）当，且，即时，，不能由线性表示；
3）当且时，，能由线性表示，但表示式唯一。
四、证明题（4+4=8分）
1. 证：由可得，，根据矩阵秩的性质，有。
又，所以；另一方面，所以，从而；
综合上述两方面，有。
2. 证：因为是线性方程组的解向量，所以。从而（），又由知（）.
设1）以左乘上式两边，得，因而必有，以左乘（1）式两边，得，因而必有，类似地，可以证明必有，故是线性无关的。
线性代数期末附答案 1
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福州大学线性代数试卷 附答案
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