2023年6月线形代数(2.5学分) 试卷。
一． 选择题：（每小题3分，共15分）
1. 下列行列式 ( 的值必为零。
(a) 行列式的主对角线上元素全为零 (b) 行列式中每个元素都是两个数的和。
c) 行列式中有两列元素对应成比例 (d)阶行列式中零元素的个数多于个。
2. 设为阶矩阵，下述论断中不正确的是 (
a)可逆，且，则b)可逆，则可逆。
(c)中有一个不可逆，则不可逆 (d)可逆，则可逆。
3. 设是4阶矩阵，且的行列式，则中 (
a) 必有一列元素全为零 (b) 必有一列向量是其余列向量的线性组合。
c) 必有两列元素成比例 (d) 任意列向量是其余列向量的线性组合。
4. 设矩阵的秩，下述结论中正确的是 (
a)的任意m个列向量必线性无关 (b)的任意一个m阶子式不等于零
c) 齐次线性方程组只有零解 (d) 非齐次线性方程组一定有无穷多解。
5. 设矩阵是三阶方阵，是的二重特征值，则下面各向量组中：
肯定不属于的特征向量共有 (
a) 2组b) 1组c) 3组d) 4组。
二．填空题：（每小题5分，共25分）
1. 设行列式，则 。
2. 已知矩阵满足，且，则行列式 。
3. 已知的一组基底为，则向量在上述基底下的坐标为 。
4. 若3阶方阵有特征值，则行列式。
5. 已知4阶矩阵的秩，则齐次线性方程组的基础解系含个线性无关的解向量(为的伴随矩阵)。
三．（10分）设向量组，1．问t为何值时，线性相关？
2．线性相关时，求出其秩和一个极大线性无关组。
四．（12分）求齐次线性方程组的基础解系和解空间的一组正交基。
五．（12分）已知二次型，1．k为何值时，此二次型为正定二次型；
2．时，求一正交变换将此二次型化为标准形（要写出所用的正交变换和此标准形）。
六．（10分）已知中的两组基与。
若线性变换在基下的矩阵为，试求在基下的矩阵。
七．（8分）设向量组线性无关，可由线性表示，不能由线性表示，证明：向量组线性无关。
八．（8分）设为正定矩阵，是满足方程的唯一解，证明：是正定矩阵。
2023年6月线形代数(2.5学分) 答案。
一。是非题（每题3分，共15分）：
2. b 3. b 4. d
二。 填空题（每题5分，共25分）：
三．（共10分） 解：
所以时，，向量组线性相关，
为一个极大无关组。
四．（共12分） 解：
由同解方程组 ，解得 ，取
得基础解系将正交化，令，即为解空间。
的一组正交基。
五．（共12分） 解：
1．因为，得。
所以时，二次型为正定二次型。
2．此时，得特征值。
对，特征向量为，
对，特征向量为，
对，特征向量为。
单位化： 令，作正交变换，得标准形。
六．（共10分） 解：设从基到基的过渡矩阵为，则。
所以 七．（共8分）证明：反证，若线性相关，因线性无关，所以可由线性表示，┈┈4分）
而已知可由线性表示，从而有也可由线性表示，与不能由线性表示矛盾，故线性无关。┈┈4分）
八．（共8分）证明：因，即。
也是的解，所以，即为对称矩阵。
设为的任一特征值，是相应的特征向量，即，则。
因为正定矩阵，故，因此正定。
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线性代数答案
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