摘要。本题的研究内容是：运用数学建模的方法，根据旋转体工件的光滑母线方程，给出一个合理的加工方案，在尽可能短的时间内完成磨削，并作加工误差分析。
针对问题一：用圆柱型砂轮加工给定母线的旋转体工件给出加工方案，首先用matlab软件中的‘cubic’函数插值法绘制出母线曲线图，并用微分法计算曲线的斜率，由于曲线存在斜率为0的点。则将该母线分为左右，两阶段进行加工，建立旋转插值模型并求解，并用面积拟合方式对旋转插值模型求解得到的数据进行误差分析，最终的加工方案为，取砂轮直径26mm。
以夹具基准面为加工基准，把加工曲线从极大值点x=21.4286mm分为两部分分别加工，如图（5-1）所示，先加工右半部分，然后加工左半部分，完成此工件的最优时间为。
一、问题重述。
某科研单位和工厂研制了一种大型精密内外圆曲线磨床，用来加工具有复杂母线旋转体的特殊工件，该磨床主要由机床底座，下工作台，中工作台，上工作台（简称**、中台和上台），工件工作箱和砂轮机箱等组成，**、中台可分别沿着设在底座和**上的直导轨作直线运动，这两组导轨相互垂直；上台能沿中台上的圆导轨作转动。驱动砂轮高速旋转的砂轮机箱安装在机床底座上，砂轮的旋转轴线与底座导轨方向保持平行，且与工件工作箱的旋转主轴等高（即两旋转轴线位于同一水平面）。三个台的运动必须相互配合，使工件与砂轮相切磨削，加工出满足要求的旋转体。
本题的研究内容是：运用数学建模的方法，根据旋转体工件的光滑母线方程，给出一个合理的加工方案，在尽可能短的时间内完成磨削，并作加工误差分析。
问题1：加工外表面母线为的某旋转体工件，采用圆柱型砂轮加工，给出一个加工方案；并对该方案作误差分析。
问题2：加工外表面母线为的某旋转体工件，采用轮式砂轮加工，给出一个加工方案；并对该方案作误差分析；
问题3：在整个加工过程中，若各个瞬时砂轮与加工工件的相切点是固定在底座和砂轮旋转轴的坐标系中同一个点（实际是点的一个邻域），随砂轮旋转形成一个圆周，那么砂轮在该圆周上的磨损会加大，从而影响加工质量。为此，希望在加工过程中使砂轮表面的磨损尽量均匀，结合问题一，提出一个修整策略，给出一个合理的加工方案，作相应的误差分析。
2、问题分析。
针对问题一：用圆柱型砂轮加工给定母线的旋转体工件，首先用matlab软件绘制母线曲线图，并用微分法计算曲线的斜率，由于曲线存在斜率为0的点。则将该母线分为左右，两阶段进行加工，先对母线的右半部分进行加工，再对母线的左半部分进行加工，建立旋转插值模型并求解，使得模型的加工尽量在较短时间内完成，接着是用面积拟合方式对旋转插值模型求解得到的数据进行误差分析，拟合度越接近于0，说明模型的建立合理性越高。
三、问题假设。
1）假设砂轮与旋转体工件在打磨期间表面均不会有亏损。
2）假设砂轮在运转过程始终速度不变。
3）砂轮的回转平面始终和曲线轮廓磨削点处的法线方向重合。
四、符号说明。
单位脉冲下丝杆的缩进距离。
沿轴方向上可插入点的个数。
沿轴方向上第点的坐标，沿轴方向上相邻点之间的距离，沿轴方向上的投影。
时刻工件箱旋转的角度。
相邻时刻工件箱的旋转角度之差。
表示时刻曲线切点处的斜率。
五、模型的分析、建立与求解。
5.1 问题一：
5.1.1模型分析：
选用半径为，厚度为，工件每分钟旋转转。以夹具基准面为加工基准，亦即以加工工件旋转体的上下底面为加工基准，圆柱形砂轮加工表面母线曲线方程为式（5-1）：
式（5-1）
砂轮几何尺寸的选择。每种磨床所能使用的砂轮形状和尺寸都有一定的范围。在可能的条件下，砂轮的外径应尽可能选得大一些，以提高砂轮的线速度，获得较高的生产率和工件表面质量，砂轮宽度增加也可以获得同样的效果。
砂轮厚度n取值小于最小间距时，不能保证加工效率；厚度取值大于最小间距时，不能保证最小间距为直线。所以取砂轮厚度为最小间距=4.95mm。
砂轮直径取值与砂轮的磨削程度以及工件表面的加工质量有关，砂轮直径取得大，砂轮与工件切点磨削的线速度大，工件表面加工质量较粗糙；砂轮直径取得小，砂轮与工件切点磨削的线速度小，工件表面加工质量较光滑，但砂轮易磨损。据文献所述砂轮的半径必须小于砂轮与外轮廓线接触点在砂轮轴线垂直方向的曲率半径。
为取得较好的工件表面加工质量，取砂轮半径为外轮廓曲率半径的最小值， 由上知，当时，所以取砂轮半径mm。取整后取砂轮直径26mm。
最小脉冲指步进电机转动，动平台(中台、**)所移动的距离。由于各组步进电机的步进角度(每输入一个控制脉冲的主轴转动角)均为；各组变速器的传动比为10：1（即步进电机转1，则变速器输出0.
1）；丝杆的螺距为12mm，则最小脉冲。
式（5-2）
则最小间隔，其中威设定的倍数，取整。
首先用matlab软件中的‘cubic’函数进行函数插值，绘制出该工件的母线曲线图，并利用matlab中的‘diff’微分方式求解曲线的斜率，得出此曲线并非严格单调，即其存在斜率为0的点，利用微分计算法求解其坐标点为并进行标记，如图（5-1）所示，，即其曲线在为单调递增，为单调递减，所以把加工曲线从极大值点x=21.4286mm分为两部分分别加工，如图（5-1）所示，先加工右半部分，然后加工左半部分。
图5-1 母线的曲线图。
5.1.2 建立旋转插值模型。
在砂轮的旋转轴线与工件工作箱的旋转主轴所在的同一水平面上，建立以砂轮的旋转轴线为轴，与其垂直的方向为轴的直角坐标系，如图（5-2），此为机床加工坐标系。由于工作箱始终在旋转，则建立旋转坐标系，以工件的起始点为坐标原点，以工作箱转轴为轴，与其垂直的方向为轴，建立直角坐标系，如图（5-3），则在时刻，对应的坐标为，利用等间距思想，沿轴方向取等步长，（）则其在坐标系的投影为，要使得在尽可能短的时间内完成磨削，则满足方程。
式（5-3）
图5-2 坐标系图5-3 坐标系。
1）首先对母线阶段加工，则曲线在坐标系下的方程为式（5-4）：
式（5-4）
根据等间距的基本思想：沿轴方向取等步长，将式（5-4）表示为：
式(5-5)
当时，工件的加磨点坐标，当时刻，工件加磨坐标满足。
设任意时刻，工作箱旋转的角度，则在点对方程式两边求导得：
式（5-6）
沿x轴方向上相邻两点之间可表示为：
式（5-7）
式（5-6）在点的倒数满足关系式：
式（5-8）
沿轴方向上的投影满足关系式：
式（5-9）
为保证表面的加工质量，要求工件每转动100转，工件与砂轮的切点在工件工作箱的旋转轴方向上的移动量不超过4mm；工件工作箱主轴转动速度设定为。所以轴进给量满足式（5-10）：
式（5-10）
要使得加工旋转体所用的时间最短则应满足。
式（5-11）
2）对旋转体的左半部分进行加工。
则曲线的方程表示为。
式（5-12）
同理可得左半部分所做的时间。
5.1.5 方案误差分析。
该模型的误差主要是**于对工件的等间距插补，得到的工件母线与实际曲线有差距，本文提出用面积最优拟合对误差进行分析，即计算插补后得到的折线与轴围城的面积，与母线与轴围成的面积之差，再根据面积拟合公式（5-13），求解折线段与母线与轴围成的面积拟合度，拟合度越接近于0则拟合度越高。
为了更形象的计算插值后的图形与母线的面积，我们用matlab中的‘cubic’函数插值方法绘制了母线切向插值图，如图（5-6）所示，蓝色代表母线曲线图，红色代表插补后的实际折线图，由于是分段插值，计算折线与轴间的面积就可以通过计算各阶段梯形的面积的累加，计算母线与轴围成的面积则通过进行求解，其中为母线的初始点，为母线的终点。
图5-4 母线切向插值图。
面积拟合公式：
式（5-13）
利用此方法对模型进行误差分析得到面积拟合度与之间的关系，如图（5-5）：
图5-6 拟合度与的关系。
可以绘制出逼近误差与最小间距设定倍数／7,的关系如图5，可知：当设定倍数加大，用直线逼近外轮廓曲线的拟合度也加大，并且当设定倍数n较大时，误差变化较大。考虑设定百倍数较小时，加工速言度较慢，为了提高加工效率，取拟合度为1个脉冲当量，由公式（5-13）和图（5-6）可以得到：。
综上所述，问题一的合理加工方案为：取砂轮直径26mm。以夹具基准面为加工基准，亦即以加工工件旋转体的上下底面为加工基准，把加工曲线从极大值点x=21.
4286mm分为两部分分别加工，如图（5-1）所示，先加工右半部分，然后加工左半部分。最优时间为。
5.2 问题二。
此问题是采用轮式砂轮加工母线为的某工件。
式（5-12）
首先用matlab软件中的‘cubic’函数插值法进行插值，绘制出此工件的母线曲线图，如图（5-7）所示，图（5-7） 母线曲线图。
6、模型检验。
7、模型优化与推广。
8、参考文献。
1] 冯春贵，王登银，张寅。 关于特殊工件磨削加工的研究[m].
2]王庆霞，李蓓智。 工件位置加工误差的分析与建模[m]. 设计与研究，2023年。
附录：问题一：
1.画母线图的程序。
x=0:600;
xi=0:0.5:600;
y=-7/18000*(600-x).^2+0.45*(600-x);
yi=interp1(x,y,xi,'cubic')
数学建模MATLAB特殊符号
逻辑运算符与。或 非 和 操作符可比较两个标量或两个同阶矩阵 对于矩阵来说必须符合规则，如果a和b都是0 1矩阵，则a b或a b也都是0 1矩阵，这个0 1矩阵的元素是a和b对应元素之间逻辑运算的结果，逻辑操作符认定任何非零元素都为真，给出 1 任何零元素都为假，给出 0 非 或逻辑非 是一元操作...
大三数学建模我们的建模
2013年第六届 认证杯 数学中国。数学建模网络挑战赛。题目护岸框架 关键词河道整治护岸固堤四面六边透水框架建模 摘要 四面六边透水框架是一种新型的江河透水护岸工程技术。通过室内试验，研究了四面六边透水框架固堤护岸的可行性 计算分析了透水框架的布设方式 结构尺寸对流水减速落淤的影响。本文针对江河岸堤...
数学建模的意义
数学建模。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象 简化建立能近似刻画并 解决 实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在...