降落伞的选择。
摘要。本文研究的是降落伞的选择方案问题，意义在于满足空投要求的条件下，使伞的费用最小。
首先，我们先对降落伞和它的负载看作一个整体，并对整体进行受力分析，忽略伞和绳子的质量，而且假设降落伞只受到竖直方向的重力和空气阻力的作用。通过牛顿运动定律以及对降落伞在空中的受力情况的分析得出了整体下落过程中的加速度，更进一步建立了位移（高度）与时间的方程。
然后对题中给出的实验数据拟合，得出阻力系数。由于题目中已经限制降落伞的最大落地速度为，所以当速度为时，伞的承重量最大。建立速度、位移与时间的方程组，带入最大速度，高度，伞的半径(题中给出的五种不同规格的降落伞的半径)，分别计算出每种规格伞的最大承重量。
最后运用整型规划中的枚举法编程（见附录f）求解得，，，即购买半径为的降落伞个时，最大承重量为，最少总费用为元。
关键词：受力分析拟合阻力系数整数规划
1 问题重述。
为向灾区空投救灾物资，需选购一批降落伞。每个降落伞的**由伞面费用，绳索费用，固定费用三部分组成。已知空投高度，要求降落伞落地时的速度不能超过给定的速度，而降落伞下落的速度又与受到的空气阻力和伞的面积有关，为了确定阻力系数，用半径，载重的降落伞从高度作降落试验，测得各时刻的高度（见附录f），因此在保证物资能够安全降落的同时需要尽可能经济的选择伞的数量和规格，使费用达到最小。
2 问题的假设和符号说明。
2.1 问题的假设。
1 降落伞下落时不受天气因素影响。
2 假设物资在离开飞机的瞬间就将降落伞打开。
3 假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用。
4 假设该地区的重力加速度为。
5 物资可以根据要求拆分为多块用不同规格降落伞空投。
6 降落伞和绳索的质量可以忽略不计。
7 假设降落伞落地时的速度为。
2.2 符号说明。
空气阻力系数。
空气阻力。重力加速度。
每种降落伞的最大载重量。
降落伞的面积。
每种降落伞的半径。
不同伞的绳索长度。
每种降落伞需选的个数。
每个降落伞的第一部分费用。
每个降落伞的第二部分费用。
每个降落伞的固定费用。
加速度。每种降落伞的单价。
3 问题分析。
为保证救灾物质安全运送到目的地，需选购一批符合规格的降落伞，同时使花费达到最省。
首先，根据已知数据，可以拟合出降落伞在下落过程中受到的空气阻力系数。降落伞有五种规格可供选择，其伞面半径的大小，决定了自身所承受重量的多少。
接着，假设降落伞在投下的瞬间就已打开，由于降落伞落地时的速度不能超过，所以同时假设其降落时的速度恰好为。伞面和绳索的质量忽略不计，对位移和速度两次积分，求出不同规格的降落伞可以承载的最大重量。
然后，在不同规格降落伞所能承受的前提下，对物质总量进行分配，选择出合适的降落伞个数。因为每个降落伞的**由三部分组成，即伞面费用由伞的半径r决定（见附录g）；绳索费用由绳索总长度及单价4决定，由于降落伞面为半径r的半球面，且用每根长l共16 根绳索连接的载重位于球心正下方球面处（图形如下），所以与存在关系式：；固定费用为200元。
最后，在满足空投要求的条件下，根据选择的降落伞个数，求出最省费用。
4 模型的建立与求解。
模型的建立与求解。
根据降落伞在降落过程中受到的空气阻力与降落速度和伞的面积的乘积成正比，可知，对降落伞整体受力分析，并由牛顿运动定律可知加速度，对速度求导即为加速度，则。
解此微分方程可得（过程见附录a）
对位移求导即为速度，可知道位移和时间的关系如下。
求解得出（过程见附录b）
由和表1的数据，对进行拟合，用7.0解得，拟合过程见附录c
要求出每种降落伞最大的载重量，联立速度、位移和时间的关系，由于、已知，降落伞的面积和降落伞的半径有关，即。
当速度时，对上式求解可得（过程见附录d）
由于降落伞面为半径的半球面， 且用每根长的绳索连接的载重位于球心正下方球面处，可知。每个降落伞的成本由， ,三部分组成，根据表2的数据可知费用，因为每个降落伞有十六根单价为4元/米的绳索连接，所以费用元，固定费用元，可得每种降落伞的单价。
为求出每种降落伞使用的个数，并且使总的费用最小，不同半径降落伞选用的个数依次为，根据其最大载重量和单价，列出以下目标函数和约束条件。
用整型规划中的枚举法编程（见附录e）求解可得。
最小费用（元）
总结：只需选购半径为3的降落伞6个，就可以满足空投条件，使费用达到最低(元)。
5 模型检验和误差分析。
本模型是通过lsqcurvefit命令利用编程对进行拟合，现在把，，代人可得以下的数据。
以上可以看出模型数据与实际的测量数据有一定的出入，但因为模型在模拟的过程中并没有考虑到外界自然因素的影响产生误差是在所难免的。而从表中数据的误差百分比可以得出模型整体的误差不会对后续的试验以及实际应用产生影响。
6 模型的评价与推广。
评价。优点。
1． 本**运用matlab编程求解，得出的数据更加精确，制定的方案更符合实际。
2. 经过求解得出，选购一种降落伞即可使费用达到最省，这样更加省时、方便。
缺点。1. 不考率天气因素的影响，2. 降落伞在下落过程中，过一段时间才会打开，而在计算时不考虑这段时间，假定降落伞在投下的瞬间就已经打开。
3. 在物资分投过程中，假设物资可以任意拆分。
推广。如果降落伞的半径仍然为这五种，其它的条件均不变，当运送的物资超过2000或者重量不为时，需改变相应的条件，运用原模型依然可以求解出降落伞的选择方案和最优费用。
7 参考文献。
1、吴建国主编《数学建模案例精编》中国水利水电出版社 2005.5
2、孙祥徐流美吴清编著《matlab7.0基础教程》清华大学出版社 2005.5
3、吴振奎王全文主编 《运筹学》 中国人民大学出版社北京 2006
4、钱小军 《数量方法》 ，北京：高等教育出版社 ，2023年8月。
8 附录。附录a
对速度积分。
dsolve('dv=(m*g-k*s*v)/m','v(0)=0')
v(t)=g/k/s*m-exp(-k*s/m*t)*g/k/s*m
附录b对位移积分。
dsolve('dh=g/k/s*m-exp(-k*s/m*t)*g/k/s*m','h(0)=0')
h(t)=g/k^2/s^2*m^2*exp(-k*s/m*t)+g/k/s*m*t-1/k^2/s^2*g*m^2
附录c对进行拟合。
function h=nihe(k,tdata)
m=300;g=10;s=18*pi;
h=g/k(1)^2/s^2*m^2*exp(-k(1)*s/m*tdata)+g/k(1)/s*m*tdata-1/k(1)^2/s^2*m^2*g;
tdata=[0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30]
cdata=[0,30,75,128,183,236,285,340,392,445,499]
k0=[1]
k=lsqcurvefit('jiangwu',k0,tdata,cdata)
附录d求最大的载重量。
由于此程序一次只能求一个值，则要求不同载重量只需把相应的半径代人。
function y=zaizhongliang(x)
r=4;g=10;
s=2*pi*r^2;
k=3.0035;
y(1)=(g/k/s*x(1)-exp(-k*s/x(1)*x(2))*g/k/s*x(1))-20;
y(2)=(g/k^2/s^2*x(1)^2*exp(-k*s/x(1)*x(2))+g/k/s*x(1)*x(2)-g*x(1)^2/s^2/k^2)-500;
x0=[1,1]初始变量。
fsolve('程序名'，x0)
附录e费用的最少值。
function f=feiyong
i=1;for x1=0:14
for x2=0:10
for x3=0:6
for x4=0:5
for x5=0:4
if 150.9726*x1+235.8947*x2+339.6883*x3+462.3535*x4+603.8903*x5>=2000
fv(i)=446.0193*x1+596.2742*x2+821.5290*x3+1176.7838*x4+1562.0387*x5;
ff(i,:)x1,x2,x3,x4,x5];
i=i+1;
endend
endend
endend
minval,k]=min(fv)
ff(k,:)
minval
附录f表1当（米）载重（千克）时间与位移的关系。
附录g表2半径和费用的关系。
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