2023年第六届“认证杯”数学中国。
数学建模网络挑战赛。
题目护岸框架
关键词河道整治护岸固堤四面六边透水框架建模
摘要：四面六边透水框架是一种新型的江河透水护岸工程技术。通过室内试验，研究了四面六边透水框架固堤护岸的可行性；计算分析了透水框架的布设方式、结构尺寸对流水减速落淤的影响。
本文针对江河岸堤防护问题，利用四面六边透水框架群的特点，建立相应的数学模型研究了四面六边透水框架群的框架尺寸、架空率和长度对岸堤防护产生直接或间接的影响效果。
一．问题重述。
一）背景分析。
翻看历史，古有大禹治水的传说；近代，98洪水曾撕扯着全中国人民的心；近两年，各种洪涝灾害频发，虽然建有大量的堤坝与河岸，但还是难以阻挡来势凶猛的洪水。基于此类情况，在这样的非常时期，坚固的堤坝就在保护人民的生命和财产中起着非常重要的作用。河岸的安全性越高，人民的生命财产就越有保障，同时安全的河岸也直接影响到社会经济的稳定和发展，为了护堤固岸， 我们不得不绞尽脑汁思考并采用各种各样的技术和方法。
其中，抛石固脚是河段防冲、护岸工程中最为普遍的方法。但是，由于抛石在经过水流一段时间的冲刷后， 将逐渐下沉流失，，容易导致岸坡失稳、河堤溃塌，因此，抛石不能起到明显的固岸效果，而且，其工程量也非常大，需不断维护，最终浪费大量的投资。
在20世纪90年代，提出的抛投四面六边透水框架群护堤固岸技术，获得国家新型实用专利。2023年开始已在一些工程中得到应用，并在2023年特大洪水灾害中取得了一定良好的固岸效果，之后该项技术列入《98灾后堤防加固15项推荐技术指南》中，并荣获陕西省2023年科技进步二等奖。
四面六边透水框架群具有透水和阻水消能的作用，把传统护岸技术中的集中消能变为逐步分级消能，达到减速促淤的效果。框架群是通过内部单个框架自身和框架体之间的空隙透水，并通过框架体的杆件来实现阻水消能。框架群内部空隙率越大，杆件所占体积比就越小，框架群的透水性能就越强，阻水消能作用就越弱，减速的效果也就越弱；反之，则框架群阻水性强，透水性就越弱，阻水性越强，通过框架群内部的水流就越少，将导致框架群外部附近和框架群后局部流速增大，框架群对水流的消能作用会减弱，，框架群就起不到减速消能的作用。
通过降低四面六边透水框架群后的水流流速，将会减轻水流对堤岸的冲刷，当流速小于泥沙的沉速时，会促使泥沙的淤积沉淀，有利于固堤护岸。
2）问题的重述。
在江河中，堤岸、江心洲的迎水区域被水流长期冲刷侵蚀。现在为了整治工作，必须提出一种合理的数学模型方法来减弱水流冲刷问题，促进该处泥沙的淤积，以确保河岸的坚固和稳定。
三）问题分析。
现在常用的治理设施主要包括四面六边透水框架（这是一种有钢筋混凝土框杆相互焊接而成的正四面体结构），而面临的问题是：针对这种四面六边透水框架群的框架尺寸，架空率和长度都会对护岸效果产生直接影响。接下来主要针对这三个参数与其减速效果之间的关系展开分析和试验。
二．模型假设。
一）、为了便于分析和计算，假设在护堤固岸工作中，岸堤所受的冲刷程度、水位、以及植被情况和水流速状态等问题都不是护岸效果的主要影响因素---以上各种因素都可以被忽略，护岸效果只与四面体的框架尺寸、架空率和长度有关。这样的理想模型，对我们的试验以及数据处理分析有很大帮助。
二）、本文中所涉及的参考数据都为试验真实数据且具有代表性。
三．符号说明。
4．模型分析。
四面六边透水框架群具有透水和阻水消能的作用，把传统护岸技术中的集中消能变为逐步分级消能，达到减速促淤的效果。
框架群是通过内部单个框架自身和框架体之间的空隙透水，并通过框架体的杆件来实现阻水消能。框架群内部空隙率越大，杆件所占体积比就越小，框架群的透水性能就越强，阻水消能作用就越弱，减速的效果也就越弱；反之，则框架群阻水性强，透水性就越弱，阻水性越强，通过框架群内部的水流就越少，将导致框架群外部附近和框架群后局部流速增大，框架群对水流的消能作用会减弱，，框架群就起不到减速消能的作用。通过降低四面六边透水框架群后的水流流速，将会减轻水流对堤岸的冲刷，当流速小于泥沙的沉速时，会促使泥沙的淤积沉淀，有利于固堤护岸。
五．模型的建立与求解
单个四面六边透水框架和四面六边透水框架群结构示意图分别见图1 和图2
通过室内试验，从四面六边透水框架群的单位体积架空率、杆件长宽比出发，单位体积架空率表征框架群内部的相对空隙大小，定义单位体积架空率：，定义杆件长宽比： ，试验中利用框架群抛投前后流速的变化来体现四面六边透水框架群减速促淤的效果。
为方便起见用减速率表示且有在加20m×1m×1m(长、宽、高)的变坡水槽中进行试验试验时调节水槽的底坡以形成稳定的均匀水流， 同时保持流量恒定在距透水框架群的下游10cm距水槽底1cm处布置流速测点采用对测点流场无影响、可进行三维实时测量的超声多普勒(adv)测速仪测量测点流速。
**这两个因素对减速促淤效果的影响：
一）、架空率对减速率的影响。
在实际工程中，框架群单位体积内包含的四面六边透水框架数量的多少，不但直接影响到工程的投资，而且对框架群的减速促淤效果有着直接的影响。对给定杆件长宽比为10的四面六边透水框架群，进行了不同架空率的减速促淤效果比较试验。
表1不同架空率下的减速率。
由表得到的架空率与减速率关系曲线图：
图3 架空率与减速率关系曲线。
三条图线从上往下分别是、、减速率与架空率的关系，由图可见减速率随架空率的增大而增加。
由数据拟合出在除架空率之外因素保持相同的情况下的拟合模型：
图4 近底减速率与架空率的关系。
框架群的透水性增强，其内部有足够的水流通过，阻水分级消能性能得到了充分发挥，架空率为时，减速率为最大；架空率再增大，透水性能迅速提高，阻水消能作用减弱，减速率迅速减小。当时减速率的变化较为平缓。因此，在工程设计中应尽可能使抛投透水框架群的架空率落在这一范围内。
二）、杆件长宽比对减速率的影响。
为观测杆件长宽比对透水框架群减速促淤效果的影响，固定框架群的架空率，进行不同杆件长宽比的减速促淤效果比较试验。试验中保持杆边长不变，按不同的长宽比确定四面体的截面宽度，制作出模型四面体根据杆件长宽比为10的架空率与减速率的关系，选择架空率观测杆件长宽比对减速率的影响杆件长宽比与减速率关系。
表2 不同抛投间隔长度下的框架群减速率。
曲线见图5图5 杆件长宽比与减速率之间的关系曲线。
由图可见，在架空率一定、杆件边长不变的情况下，减速率随着杆件长宽比的增大而增加框架群的透水性增强，使框架群内部水流能够充分流动和消能当杆件长宽比，减速率最大杆件长宽比再增加，框架群的透水性虽能增强，但框架群内部没有足够的杆件阻水消能，其阻水消能性能减弱，从而使框架群的减速率下降。
试验表明：在架空率不变的情况下，杆件长宽比在范围内的减速效果较好。
三）、架空率、杆件长宽比与减速率的关系。
由试验可知，四面六边透水框架群的架空率和框架的杆件长宽比对框架群的减速促淤效果都有明显的影响。
在给定杆件长宽比和架空率的情况下，分别存在最佳的架空率和杆件长度比范围，为了研究架空率和杆件长宽比对框架群减速促淤的共同作用，进行了不同架空率和不同杆件长宽比的减速促淤试验。架空率、杆件长宽比与减速率关系曲线分别见图6和图7
图6不同杆件长宽比时架空率与平均速率之间的图7不同杆件长宽比时架空率与平均速率之间的关系关系
由图6和图7可见，框架群的减速率随架空率、杆件长宽比的增大而逐渐增大，当超过一定范围时，架空率，杆件长宽比的继续增大，减速率反而减小，当ε=4~5.5，λ=15~18时减速促淤效果最好，在时效果最好。试验还表明框架群相对高度（框架群高与水深比）对减速效果不明显。
图8 近底减速率与框见长宽比拟合关系曲线。
为了观测单个框架群的不同抛投宽度对水平垂***方向上减速效果的影响进行了框架群偷跑宽度试验，试验中，观测到四面六边透水框架群宽度增加对近底流速的衰减无明显影响，主要表现是：四面体框架群对框架外侧水底有一定的减速作用，其影响范围主要与水深、框架体高度、宽度及水面宽度有关。如图9..
图9框架群相对抛投宽度与相对抛投高度的关系曲线。
为了观测单个框架群的不同抛投高度对水深方向上减速效果的影响，进行试验，观测不同相对抛投高度框架群的减速效果，得到相对抛投高度与平均减速率之间的关系曲线，如图10.
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