华南农业大学期末考试试卷（a卷）
2009学年第二学期考试科目： 数学模型
考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟
学号姓名年级专业。
1、 （13分）设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。
1） 排列1：圆盘中心按正方形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。（4分）
解：圆盘总数：[×frac=100', altimg': w': 122', h': 43'}]
排列2：圆盘中心按六角形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。（4分）
解：行数：[\frac}\\end+1=11', altimg': w': 142', h': 74'}]
圆盘总数：[+frac=105', altimg': w': 177', h': 43'}]
2） 设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。（5分）
解：前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106
此题考虑的是当两种方案当两种方案被提出的时候，但仍需改进的时候，应该考虑这两者的综合是否可行，如果可行，则给出方案。）
2、 （10分）在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：
1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。5分。
2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。5分。
解：设体重w（千克）与举重成绩y （千克）
1） 由于肌肉强度(i)与其横截面积(s)成比例，所以 y i s
设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则s ∝ h2
再体重正比于身高的三次方，则w ∝ h3
故举重能力和体重之间关系的模型为：
2） 体重中与成年人尺寸无关的重量为a, 则一个最粗略的模型为。
更好的模型：
3、 （10分）在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.
00元，二者单位重量的**比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。
1）请写出商品价恪c与商品重量w的关系，其中**由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。（5分）
2）给出单位重量**c与w的关系，并解释。（5分）
解：（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含w和s成正比的部分，上述三种都含有与w和s均无关的成分。又因为形状一定时有[}'altimg':
w': 53', h': 32'}]故商品的**可表示为[}+altimg':
w': 142', h': 32'}]为大于0的常数。
（2）单位重量**[=αw^}+w^',altimg': w': 206', h':
43'}]显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，函数曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大时逐渐降低的。
4、 （10分）药的剂量和用药间隔时间应该如何调节，才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度？设h为药物的最高安全量级，l为最低有效量级，x0为每次所开药物的剂量，t为用药间隔时间。现给定h＝2.
5mg/ml，l＝0.5mg/ml。并假定血液中药物浓度的减少速率与浓度成正比（设比例系数k＝0.
01），1）写出第n次用药期内的药物浓度变化的动力学模型；5分。
解：设cn(t)表示第n次用药期内时刻t的药物浓度，其变化的动力学模型为：
其中：x0 = h-l = 2 mg/ml ，
2）请在安全有效范围内对用剂量的浓度和用药间隔制定一个用药计划。5分。
解：[\ln \\frac=\\frac\\ln \\frac=160.9438', altimg': w': 310', h': 43
5、 （13分）设在一个一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从logistic变化规律，植物独自生存时其生物量的增长服从指数增长规律。
1） 请建立三者关系的模型；5分。
解：将植物、哺乳动物和爬行动物的数量分别记为x1(t)、x2(t)和x3(t)，则三者关系模型为：
\\frac}=x_(r_λ_x_)\frac}=x_(r_\\frac}}+x_μx_)\frac}=x_(r_\\frac}}+x_)\end\ight.',altimg': w':
277', h': 198'}]
2） 求平衡点；3分。
a（0，0，0）
或 b（x1，x2，x3），其中 [x_=\frac}}\x_=k_(r_+λx_)\x_=\frac}(r_+\frac}}+x_)\end\ight.',altimg': w':
197', h': 175'}]
3） 分析各平衡点的稳定性。5分
送分）6、 （12分）某研究单位现有3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，其中，建立了如下的层次分析模型：
并分别建立了如下的准则层b1, b2, b3对目标层a的成对比较矩阵：
1） 请判断矩阵a是否为一致阵（已知ri=0.58）；（6分）
解：首先计算a的最大特征值，令|a- e|=0，得 max= 3.0945，对应的归一化特征向量u=(0.0943，0.6259，0.2798)t
计算ci=（3.0945-3）/(3-1)= 0.0473
计算cr=ci/ri=0.0816<0.1
所以a是一致阵。
2） 若还已经求得方案层c1 ，c2 ，c2对准则层b1, b2, b3的权向量分别为（0.595，0.277，0.
128）， 0.082，0.236，0.
682），（0.429，0.429, 0.
142）, 据此计算该选择何种方案。（6分）
解：由于w=[0.595 0.
277 0.128\\\0.082 0.
236 0.682\\\0.429 0.
429 0.142\\end\\begin0.0943\\\0.
6259\\\0.2798\\end=\\begin0.2653 0.
3462 0.3487\\end', altimg': w':
607', h': 152'}]
因此，选择课题c3。
7、（10分）设报童销售一份报纸的零售价为a = 15分，购进价b = 8分，退回价c = 6分。
设每天需求量为 r 时的概率为 f(r)（r = 0,1,2 …）请回答如下两个问题：
1） 当每天购进 n 份时，请写出日平均收入 g(n)的模型；（5分）
解：2） 当n满足什么条件时，日平均收入 g(n)最大。（5分）
解：满足如下条件：
8、（10分）设磷元素在土壤中记状态1，在草、牛、羊等生物体中记状态2，此外记3。随机变量[',altimg': w':
24', h': 23'}]表示磷元素在第n年的状态，记[(n)=p(x_=i)',altimg': w':
141', h': 23'}]状态概率向量[(n),a_(n),a_(n))'altimg': w':
247', h': 23'}]三种状态和状态转移概率表示如下：
1） 写出状态转移矩阵p。 3分。
解：2） 什么叫吸收状态？指出哪个状态吸收状态。3分。
解：吸收态指一旦到达就不会离开的状态i, pii=1。
3是吸收态。
3） 若，计算 4分。
解：9、（12分）在意外事件发生的时候，建筑物内的人员是否能有效疏散撤离是人们普遍关心的问题。尤其是911事件发生后。
对于—个特定建筑物，人们关心疏散路线和全部疏散完毕所用时间等。这个问题可以通过反复的实际演习来解决。但多次反复的演习实际上是不可能的，理想的办法是通过理论上的分析来得到。
考虑学校的一座教学楼，其中一楼有一排四间教室(下图)，学生们可以沿教室外的走道一直走到尽头的出口，试用数学模型来分析人员疏散所用时间。
现有如下假设：
1）为简单起见，可设疏散时大家秩序井然地排成单行均匀稳定地向外走，则疏散时队列中人与人之间的距离为常数，记为d米；
2）设逃离是匀速行进的，速度为v米／秒；
并设置如下的符号体系：
d ——疏散时人与人的距离。
v ——疏散时人员的行进速度。
ni ——第i个课室的人数。
l i ——第i个课室门口到第i – 1 个课室门口的距离。
t0 ——疏散时第一个到达教室门口所用的时间
下面，设d = 0.2米，v = 0.5米／秒，n1 = 30，n2 = 40，n3 = 50，n4 = 35，l 1= 5米，l 2= 6米，l 3= 6米，l 4= 5米，t 0= 10秒。
请回答如下问题：
1） 考虑靠近出口的第一个教室内人员的疏散。写出这个教室撤空的时间及全部撤离的时间；（4分）
解：第一个课室全部撤空时间：[1)d}+t_=\frac+10=21.6（秒）',altimg': w': 387', h': 46'}]
第一个课室全部撤离时间： [frac1)d}+t_=\frac+21.6=31.6（秒）',altimg': w': 364', h': 46'}]
2） 考虑第二个课室撤离时出现重叠的情况，即当第二个教室的第一个撤离者到达第一个教室的门口a时，第一个教室内的人还没有疏散完毕，这时如果两支队伍同时行进势必造成混乱，因此需要等待第一个教室撤空以后第二个教室的队伍再继续前进。请问本问题中会出现这种情形吗？并说明理由。
（4分）
解：由于第二个课室第一个人到达第一个课室门口的时间是：
}+t_=\frac+10=22>21.6', altimg': w': 239', h': 46'}]
因此，不需要等待。
3） 请计算四个课室全部撤离所用时间。（4分）
解：a． 第二个课室第一个人到达第一个课室门口时间是[}+t_=22>21.6', altimg':
w': 151', h': 46'}]不需等待，因此，第二个课室全部撤空时间为：
[1)d}+t_=\frac+10=25.6（秒）',altimg': w':
387', h': 46'}]
b． 第三个课室第一个人到达第二个课室门口时间是[}+t_=22<25.6', altimg': w':
151', h': 46'}]故第二个课室需要等待，等待时间是25.6-22=3.
6（秒）。加上等待时间，第三个课室全部撤空时间为：[1)d}+t_+3.
6=\\frac+10+3.6=33.2（秒）',altimg':
w': 477', h': 46'}]
c． 第四个课室第一个人到达第三个课室门口时间是[}+t_=20<33.2', altimg': w':
153', h': 46'}]因此，需要等待的时间是33.2-20=13.
2（秒）。
因此，加上等待时间，四个课室全部撤离时间是：[+l_+l_+l_)}frac1)d}+t_+13.2\\\frac+\\frac+10+13.
2\\\80.80（秒）',altimg': w':
364', h': 113'}]
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