数学建模入门试题极其答案

发布 2023-05-18 00:45:28 阅读 9007

1. 你要在雨中从一处沿直线走到另一处,雨速是常数,方向不变。你是否走得越快,淋雨量越少呢?

2. 假设在一所大学中,一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10,若在充分长的时间内,一位普通教授大约借出多少年本书?

3. 一人早上6:00从山脚a上山,晚18:00到山顶b;第二天,早6:00从b下山,晚18:00到a。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点?

4. 如何将一个不规则的蛋糕i平均分成两部分?

5. 兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家,家中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时,妹妹的速度为2公里/小时,狗的速度为5公里/小时。

分析半小时后,狗在何处?

6. 甲乙两人约定中午12:00至13:

00在市中心某地见面,并事先约定先到者在那等待10分钟,若另一个人十分钟内没有到达,先到者将离去。用**法计算,甲乙两人见面的可能性有多大?

7. 设有n个人参加某一宴会,已知没有人认识所有的人,证明:至少存在两人他们认识的人一样多。

8. 一角度为60度的圆锥形漏斗装着10厘米高的水(如右图),其下端小孔的。

面积为0.5平方厘米,求这些水流完需要多少时间?

9. 假设在一个刹车交叉口,所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜坡,计算这种情。

下的刹车距离。如果汽车由西驶来,刹车距离又是多少?

10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料,如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。

1.解:把人体简化为长方柱,表面积之比为前:侧:

顶=1:a:b,选坐标系将人的速度表示为(v,0,0),即人沿x周方向走,v>0,而设语雨速为(x,y,z),行走距离为l,则淋雨量q的表达式为:

q=[ q=|x-a|+a|y|+b|z|]*l/v

记q=a|x|+b|z|,则。

l(),v≤x

q(v)=l(+1),v>x

在q≥x和q q/l

2.解:由于教授每天借一本书,即一周借七本书,而图书馆平均每周收回书的1/10,设教授已借出书的册数是时间t的函数小x(t)的函数,则它应满足(时间t以周为单位)

其中初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。

解该线性方程初始问题得x(t) =70[1-]

由于当t ∞时,其极限值为70,故在充分长的时间内,一位普通教授大约已借出70本书。

3.解:我们从山脚a点为始点记路程,设从a到b路程函数为f(t),即t时刻走的距离为f(t);同样设从b点到a点的路程为函数g(t)。由题意有。

f(8)=0,f(18)=|ab|,g(8)=|ab|,g(18)=0;

令h(t)= f(t)--g(t),则有h(8)= f(8) -g(8)=-ab||<0, h(6)=f(6) -g(6)= ab|>0

又注意f(t),g(t)都是时刻t的连续函数,因此h(t)也是时刻t的连续函数,由连续函数的介质定理,一定存在某时刻t。使h(t。)=0,即f(t。)=g(t。)

所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。

4.解:设i为平面上任一封闭曲线,p为平面上一点(不妨设p在i内),则存在已过点p的直线,将i所围的面积二等。

分,如下图。

设l为过点p的一条直线,若s1= s1,则得证,否则设s1 >s2,l与x轴夹角为a,让l逆时针绕p旋转s2 ,s2,则s1,s2随a的变化连续的变化,记其面积为s1a),s2(a),则记s1(a)= s1, s2(a)= s2,f(a+∏)0,且f(a)连续,由连续函数的介值定理知,在(0,∏)存在ā使f(ā)0,a=ā对应的直线即为所求。

5.解:哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时,因此一小时后,哥哥与妹妹都已到家,而狗一直在二者之间,因此狗已到家。

6.解:设甲乙两人分别在12点x分及y分等可能到达到达约定地点,显然0≤x≦60,0≦y≦60,若两人相遇则有|x-y|≦10,这是一个几何概率问题,其中样本空间为a=

它构成了空间直角标系中的正方形,相遇空间为。

g=其图形见上图阴影部分,sa,sg分别表示正方形、阴影部分的面积,从而相遇的概率为p=sa/sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)≈0.306

7. 证明:设第i个人认识的人为s(i),则s(i)∈

设没有两个人认识的人一样多,则s(1),s(2),…互不相等,则s(i)取遍集合……n-1}中的一个值,即至少存在某两个人k1,k2使s(k1)=n-1,s(k2)=0,而对第ki个人,由于(ki)=n-i,故他必然认识第k2人,故s(k)至少为1,与s(k2)=0矛盾,得证。

8.解:由水力学定律可知q=dv/dt=0.62s,其中0.

62为流量系数s为空口横截面,g为重力加速度,h为从从空口到水面的高度,故有dv=0.31dt,另一方面,在△t时间内,水面由h降至h+dh(dh<0),则仅有。

dv=-∏r*r*dh=-∏3*h*h*dh, 所以有0.31dt=-∏3*h*h*dh,再由h(0)=10,联立求得其解为。

t=(∏3)*(2/5)*1/(0.31 (-当水流完时,h=0,解得t=2∏/(15*0.31)*

9.解:设t=0时为开始刹车的时刻,x(t)为从t=0到t时刻所幸的距离,由刹车时所受的制动力为-uw-w*,其中w为车重,故x(t)满足*d(dt/dt)/dt=-uw-w*

又由x(0)=0,dx/dt|t=0=v。

解得x(t)=-1/2(+)v。*t

故制动时间为。

tb=v。/(

因此刹车距离为。

x(tb)=1/2*[ v。/(

同理可得汽车由西驶来时,刹车距离为1/2*[ v。/(

10.解:假设管道是直的圆的、粗细一样,带子宽度一样。

参数宽为w,圆管周长为c,缠绕角度为a,则w=c*sina;a=arcsin(w/c)

当管道长为l,按上述方式包扎需要的带孔为l,此时管道表面积与带子总面积为l*w,则。

l*w,则l*w-l*c=w*

即l= (w*+l*c)/w

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