《数学建模入门》练习题。
练习题1：发现新大陆！
发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？
参***： 有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。)
答：首先从历史的角度看，当时欧洲各国对东方的**需求量大增，原有的航线不足以满足欧洲国内需求，所以各国需要开辟新航线扩大**量。而指南针的引入以及造船技术的不断改进使得远洋航行成为可能。
其次，从哥伦布个人的角度来看，他有着坚定地信念和科学的头脑。他坚持认为地球时圆的，一直向西方航行一定可以到达印度。而且在航行途中，当所有的船员已经放弃向前、想要返航的时候，哥伦布依旧坚持自己的看法，执意继续向西，最终才发现的新大陆。
练习题2：棋盘问题。
有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？
答：不可以。
不能，如图所示。图中共有 32 个红格，30 个蓝格，而每张骨牌必定盖住一蓝一红两格，那么最后两个红格用一个骨牌无论如何也盖不上。
练习题3：硬币游戏。
如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？
答：为了赢得比赛，决定先放。具体做法如下：
首先将硬币放在长方形桌子的中心，然后根据对手所放的硬币，找一桌子中心为对称中心的位置，直至对方没有地方方硬币为止，有长方形的对称性，只有中心不存在对称为止，故先放者必定会赢。
练习题4：高速问题
一个人从 a 地出发，以每小时30公里的速度到达 b 地，问他从 b 地回到 a 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？
答：不能使平均速度达到60km/h，计算如下：
假设返回的速度是x km/h，a、b两地间距离为s km。那么往返的平均速度就是：
v===若令v=60，解之得：x=30+x，显然无解。
所以若按照原路线返回的话，除非速度达到∞，否则平均速度不可能达到60km/h。
练习题5：登山问题。
某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？
答：可以找到。
由于本题要求不能使用高数知识，我们只能从最简单的物理模型入手。
我们不妨假设在同一天，有两个人，同时分别从山顶和山脚出发，分别上山、下山，这两人碰面的地点就是来回时刻相同的地点。设：上山的速度为v1(t)，下山的速度为v2(t)，山路长度为x。
则两人相遇的时候，有：
x=显然，两人一定相遇，本方程也一定会有解。
练习题6：兄弟三人戴帽子问题
解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人**。县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下：
兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。
此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子，老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。
只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！
县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答吗？)
答：全红1种，2红1黑3种，1红2黑3种。共7种不同的戴法。
老大老二老三的帽子颜色依次为：红/黑、黑、红的戴法最难。因为老大看到一红一黑的时候无法判断自己的帽子颜色。
此时老二知道自己和老三的头上戴的是两红或者一红一黑，但是他看到老三头上戴着红帽子，也就无法判断出自己头上帽子的颜色。这是只有通过老三对老大老二反应的判断来推出自己头顶帽子的颜色。
练习题7：做出空间图形。
做出由曲面与相交的空间曲线和所围成的立体的图形。
答：如下图，用matalb作图：
matlab的m文件**如下：
t=0:0.1:2*pi
r=0:0.1:sqrt(2)
t,r]=meshgrid(t,r)
x=r.*cos(t)
y=r.*sin(t)
z1=x.^2+2*y.^2
z2=6-2*x.^2-y.^2
surf(x,y,z1)
hold on
surf(x,y,z2)
练习题8：之事，知多少？
关于圆周率的事，你们知道多少？
答：圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何量的关键值，其定义为圆的周长与直径的比值。也等于圆的面积与半径平方的比值。
在分析学里，可以严格定义为满足的最小正实数，这里的是正弦函数（采用分析学的定义）。
简介。圆周率（π读pài）是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。
它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14来代表圆周率去进行近似计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约20位。
π(读作“派”)是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没有关系的，但大数学家欧拉从一七三六年开始，在书信和**中都用π来表示圆周率。因为他是大数学家，所以人们也有样学样地用π来表示圆周率了。但π除了表示圆周率外，也可以用来表示其他事物，在统计学中也能看到它的出现。
π=pai（π=pi）古希腊欧几里德《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（ 约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取pi=（4/3）^4≒3.1604 。
第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到（3+（10/71））<3+（1/7）） 开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。
中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈根号10（约为3.14）。
为什么要继续计算π
第一，用这个方法就可以测试出电脑的毛病。如果在计算中得出的数值出了错，这就表示硬件有毛病或软件出了错，这样便需要进行更改。同时，以电脑计算圆周率也能使人们产生良性的竞争，科技也能得到进步，从而改善人类的生活。
就连微积分、高等三角恒等式，也是由研究圆周率的推动，从而发展出来的。
第二，数学家把π算的那么长，是想研究π的小数是否有规律。
目前为止，π的值己被算至小数点后***位（ibm蓝色基因）。
在数学外的用途。
1.在google公司2024年的一次公开募股中，集资额不是通常的整头数，而是$14,159,265，这当然是由π小数点后的位数得来。（顺便一提，谷歌公司2024年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数e有关）
2.排版软件tex从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.141592
3.圆周率的终极日。
3月14日为圆周率日，“终极圆周率日”则是2024年3月14日6时54分，因为其英式记法为“3/14/1592 6.54”，恰好是圆周率的十位近似值。
4.圆周率近似值日。
圆周率近似值日有两天，7月22日（英国式日期记作22/7，看成圆周率的近似分数）
谐音法。众所周知，圆周率π是一个有名的无理数，一个无限不循环小数，无理数不好记，如果利用“谐音法”，把小数点后的前一百位编成如下顺口溜，用不了几分钟就可以记住。
首先设想一个好酒贪杯的酒徒在山寺中狂饮，醉“死”在山沟的过程（30位）：
圆周率 3.14159 26 535897 932 384
山巅一寺一壶酒。儿乐：“我三壶不够吃”。“酒杀尔”，杀不死，626 43383 279
乐而乐，死三三巴三，儿弃酒。
接着设想“死”者的父亲得知后的感想（15位）：
吾疼儿：“白白死已够凄矣，留给山沟沟”。
再设想“死”者的父亲到山沟里三番五次寻找儿子的情景（15位）：
山拐我腰痛，我怕尔冻久，凄事久思思。
再设想在一个山洞里找到“死”者并把他救活后的情景（40位）：
吾救儿，山洞拐，不宜留。四邻乐，儿不乐，儿疼爸久久。
爸乐儿不懂，“三思吧！”儿悟，三思而依依，妻等乐其久。
以上顺口溜不免有点东拼西凑，牛头不对马嘴，但是却把抽象的数字串形象化了，非常有利于记忆。
练习题9：身高和年龄的关系。
你不认为“身高和年龄之间有关系吗？”
请你们三个人分别按照每人从出生到现在每年的身高和对应的年龄记录下来（在你本人的宝宝成长纪念册中），制成表（注明：男生、女生，籍贯），然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。
练习题10：过三峡大坝。
请你说明船舶是如何从上游通过长江三峡大坝去下游的，又是如何从下游通过长江三峡大坝去上游的。
换句话说，船舶是如何通过长江三峡大坝的。
答：本题主要是连通器原理的应用。从低位与高位之间有闸门，把闸门打开，水位相平，船开驶入高水位中去，再关掉闸门，然后再往更高水位中注水，再把闸门打开，水位又相平，船又可以驶进去，依此类推，反之亦然。
练习题11：你如何解释？
首都博物馆里有一个展品是一个出土的石盒子容器（见下图），它的外侧表面的石刻画中，有一个佛的头像是一个方形的洞，这如何解释呢？
答：原容器在做成后不久遭到损坏，头像被损毁。为了将头像修补完整，古人在原头像位置凿了一个方形孔后，再将头像插入方孔。
之所以是方形，主要是因为方形容易打孔，同时也不会使头像轻易发生转动。后台，这个修补的头像又剥落了，所以才会留下这个方孔。
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