《数学建模与实验》练习题。
专题一初等模型。
1、如图，矿物局拟自地平面上掘出一管道至地面下一点。设长，长，地平面是粘土，掘进费用，地平面以下是岩石，掘进费用是。
（1）建立掘进费用的数学模型；
（2）采用什么掘法费用最省？
2、某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体（视上、下底为平面），上下底半径为，高为。若体积为，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍。
（1）建立用料的数学模型；
（2）试问当与之比是多少时，用料最少？
3、某大城市出租汽车行程不足，车费元；行程不足，大于等于部分时，每公里车费元；行程大于等于部分，每公里车费元。计程器每计一次价。例如：
当行驶路程()满足时，按计价；当时，按计价；途中因红灯等原因停车等候，等候的时间每计一次价，收费元。例如：等候时间()满足时，按计价；当时，按计价。
1）建立出租车行驶收费的数学模型；
2）若行驶，停车，应付多少车费？
3）若行驶，停车，应付多少车费？
4、设某商店以每件10元的进价购进一批衬衫，并设此种商品的需求函数（其中， 为需求量，单位为件；为销售**，单位为元）。问该商店应将售价定为多少元卖出，才能获得最大利润？最大利润是多少？
5、某公司在生产中使用和两种原料，已知和两种原料分别使用单位和单位可生产单位的产品，这里。
并且种原料每单位的价值为美元，种原料每单位的价值为美元，产品每单位的价值为美元，求：
1） 生产公司利润的模型；
2） 该公司的最大利润。
专题二差分方程模型。
1、某人年初时往银行存入2000元，银行的年利是9%，而且每年都从中取出w元。
（1）建立一个描述第n年时银行尚有多少存款的的数学模型；
（2）如果每年取出的钱数是：（a）w=200；（b）w=160，将是什么结果；
（3）如果想在5年后，银行帐户上还剩有一些钱，w的最大限额是多少？
2、某儿童星期一在学校传染上了流感，如果每个流感患儿每天都与两个健康儿童密切接触，并由此使流感蔓延。假设传染是在早上，两天后流感发作，患了病的儿童将呆在家里直至痊愈，痊愈后可获免疫力。令为第n天新患病的儿童数，为第n天带菌的儿童数，分别建立和的模型。
若学校中学生总人数是401人，使用模型来**到星期五早上时新患病的儿童数。
3、假如一对罕见的鸟每年可产卵4只，第2年这4个蛋可孵出雄雌各一的两对小鸟，小鸟中有50%在出生的当年夭折，但活下来的小鸟第2年之后就可以繁殖，同时每年1岁的鸟中有10%死去，2岁及以后的鸟中有20%会死去。利用对雌鸟按[幼鸟，1岁鸟，>1岁鸟]的分类，做出与假设相应的矩阵模型x。如果今年有6对2岁的鸟，那么：
1）10年后鸟按年龄分类的状态如何？
2）长此下去有何结果。
4、若生产增长速率每年是4%，表示第年时的产量，做出描述产量模型的差分方程。若2023年时的产量是1千万吨，请估计：（1）什么时候产量可达到1千4百万吨；（2）什么时候其产量低于6百万吨。
5、某机器的折旧率是每年5%，建立一个描述其折旧值的差分方程，如果新购入时花了10000元，当它的折旧值仅为3000元时，机器将报废，计算：（1）5年后机器的价值；（2）机器使用年限。
专题三微积分及微分方程模型。
1、 一种新玩具第一天售出1000个，然后以固定速率增加。两个月后达到日销量3000个，到第4个月时达到峰值，然后开始下降，到第8个月时降至为零。对前两个月采用一个线性模型，之后采用二次模型，建立总销量随月变化的模型。
2、 某城的人口密度（单位：人）在半径（）的范围内与半径成反比，求：（a）根据此模型，求出城市的总人口，如果半径为1处的人口密度是1000人；
b）如果居住在半径为的地区的人口数与成反比，模型该如何建立？
3、 人口的年龄分布可表示为：（1），；2），，其中、为参数。对以上每种模型求：
（1）总的人口数；
2）人口的平均年龄；
3）65岁以上人口占总人口的比例。
4、 某水渠剖面是长方形，宽是，水深是，假如水的流速取决于与渠侧面的距离，即在侧面处流速为0，而在渠中间处流速最高为，试求出下列二种模型流过水渠的体积流量（设流速与水深无关）：
1）建立线性模型； （2）建立二次模型。
5、 要做一个方形的窗户，玻璃四周要镶嵌木条，现在已知可用木条的长度是，如何设计窗户的尺寸使木条够用，并可获得最大的光。
6、 设有一只兔子和一匹狼，兔子位于狼的正西100m处。假设兔子与狼同时发现对方，并开始了一场追逐。兔子往正北60m处的巢穴跑，而且狼则在其后追赶。
假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍，问兔子能否安全回到巢穴？
7、 光线穿过水中被水吸收而导制光的强度的减弱，其速率与光线在水中那点处的强度（或亮度）成正比，如果在光行35m处光的强度减弱了，那么，在多少米处，光线被吸收了？
专题四线性代数模型。
1、 某大学六名学生a、b、c、d、e、f参加工程设计大赛。在评比中分成三部分，精度占30%，外形20%，设计技巧占50%，各部分的分值为从1到10这十个数，每人总分为每部分的权重与其分值乘积的和。学生a的三部分分值分别为8，7，9；学生b为8，6，10；学生c为6，8，10；学生d为9，10，7；学生e为10，10，6；学生f为8，7，8。
试用矩阵运算排出他们的名次。
2、 一个配剂师组合四种甲、乙、丙、丁四种食物，使得含有78单位的维生素a，67单位的维生素b，146单位的维生素c，153单位的维生素d。以下**给出了每种食物每千克的维生素含量，每顿饭中应有多少克的每种食物，才给出最好的答案。
3、 假设一个经济系统由三个部门组成，其投入产出如下表（货币单位为10万元）：
**第ii部门的最终产品增产品100时，各个部门分别增产多少产品。
4、 如果。
试计算。5、 假设每天：（1）在人体血液中的的铅经肾排出；（2）人体血液中的的铅进入各器官中；（3）人体血液中的的铅进入骨骼中；（4）器官中的铅进入到血液中；（5）进入器官的血液的铅经过毛发，指甲和汗排出。
求：（a）按铅在血液、器官、骨骼百分比的分布做出矩阵模型；
b) 若某人摄入了100铅，则（1）1天后铅的分布如何？（2）一个星期之后呢？
专题五概率统计模型。
数学建模练习题
2.14成绩与体重数学建模。举重比赛按照体育运动员的体重分组，你能在一些合理 简单的假设下，建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是下一届奥运会的成绩，可供检验你的模型。成绩与肌肉的力度有直接关系，随着力度的增加，成绩呈上升趋势。假设力度与肌肉横截面积成正比，而截面积和体重都与身体的某个特征尺寸有直接...
数学建模练习题
一。摘要。在分析和研究了这种水泥凝固时放出的热量与这种水泥的四种化学成分有关，通过对所给的数据研究之后，提出了简单的多元线性回归模型，且在通过多种方法建立了回归模型，综合这几种方法建立的多元线性回归模型解决了我们面临的实际问题。模型求解和模型检验的结果表明，我们建立的模型是非常符合所求解的问题的，而...
数学建模练习题
一项食品加工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。原料油有两大类，共5种 植物油2种，分别记作v1和v2 非植物油3种，记为o1 o2和o3。各种原料油从市场采购。现在 一月份 和未来半年中，市场 元 吨 如下表所示 成品油售价1500元 吨。植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。每个月最多...