数学建模练习题

2.14成绩与体重数学建模。

举重比赛按照体育运动员的体重分组，你能在一些合理、简单的假设下，建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是下一届奥运会的成绩，可供检验你的模型。

成绩与肌肉的力度有直接关系，随着力度的增加，成绩呈上升趋势。

假设力度与肌肉横截面积成正比，而截面积和体重都与身体的某个特征尺寸有直接关联。由此可以找到成绩和体重之间的关系。可以以此建立模型。

1．本模型主要考虑运动员举重总成绩和体重的关系，所以假设运动员其他条件相差不大。

2．运动员的举重能力用其举重的总成绩来刻画。

3．符号说明：

人的体重 w人的身高 h

肌肉横截面积 s人的体积 v

肌肉强度 t举重成绩 c

非肌肉重量 w1斜率k

模型一。1．题中给出举重比赛按照体育运动员的体重分组，所以我们猜测成绩与体重应该是正比关系。

2．画出坐标图，体重越重，成绩越好，进一步验证了正比关系。

从上图可以看出，体重越大，举重总成绩相对越好，所以我们猜测举重总成绩与体重大概成线性关系。则，我们可以用一次函数c=kw+b对三个体重进行拟合，根据图中数据，可得：

把b代入得出三个一次函数为：

= 2.66w+143.8, =1.45w+75.1, =1.17w+69.7,用上述模型计算得到的理论值，并画出图表与原图表进行比较：

通过比较两个图表，我们可以推测体重与成绩数据的推测图表和已知图标的拟合度并不是特别的理想，所以我们可以认为用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。

模型二。我们这一次综合各种因素来进行分析建模。

通过查阅各种自然科学磁疗，我们可以近似以为：一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即：

c = t ( 为常数且》0

从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即：

t = s ( 为常数且》0

综合，可得。

c = t = s

通过查阅资料，我们可以假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方，即可得：

s = w = 为常数且》0，>0)

综合上述所有算式，我们有：

c= s因为w = 我们可以推测出举重运动员举重总成绩与其体重的关系为：

c = 利用题目**中所给的体重和举重总成绩数据，求出上述模型的常数m。利用题目**中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系数k。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。

经过代入9次运算得出平均常数，为=20.3,=9.6，=9.

0。于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为=20.1 ,=9.

1 ,=11.0

用上述模型计算得到的理论值，如下表：

拟合图像如下图所示：

从上图可以看出，理论值与实际值非常接近。这个模型主假设条件非常好，是比较完美的计算模型。通过以上数据，利用体重与举起重量的关系，肌肉的强度和其横截面的面积关系，推导出模型，并对模型进行改进，得到最终优化后的模型为：

通过分析验证了优化后模型的可靠性，并且可靠度很高。