关于博彩的函数模型。
摘要 本文分析了目前流行的两种主要博彩方式，“传统型”和“乐透型”，分别据其特点确定了合理性的衡量标准的不同侧重点，并重点分析最受彩民欢迎的“乐透型”。我们分析“乐透型”吸引彩民的最重要因素为高项奖的中奖率和高项奖的得奖金额，并将之量化构造出一函数，使之比较准确合理地反映出两者间互相联系，互为影响并在某处达到平衡的关系。最后用查出的实际数据资料返回验证其正确性。
这样，“乐透型”的博彩方式的合理性归结为在一定约束条件下，据此函数值的大小进行比较。
设计新的方案时，有“改革”（即在所给博彩方式比较出其中最佳，再参考这种博彩方式，对其高项奖分配比例作出适应性调整）和“革命”（即重组游戏规则，使之既不违背我们先前的目标函数，又确实能提高对彩民的吸引力）两种途径，摸着石头过河的“改革”失败之后，我们走上了“革命”道路，从而设计了“二次兑奖”的“爽透型”方案。
关于博彩的函数模型。
一、问题重述。
近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额**使越来越多的人加入到“彩民”的行列，但是，品种繁多的彩票让彩民们不知所措。
目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。
“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。
又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中。
一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：
(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例
综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性，供彩民参考。设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。
二、模型的假设。
1. 不考虑实际中奖概率与理论中奖概率的误差（通常所说的彩票中奖概率是指某种玩法中彩票中奖的注数占总注数的比例，是用该玩法该奖组的中奖注数除以该奖组的总组合注数即总的投注注数而得出的）
2. 实际中每期的“返奖率”（用来返还彩民的奖金在销售额中所占的比率）一定，为50％
3. 博彩方式设置奖项最多为七等。
4. 认为彩民是否决定购买彩票由彩票对他们的吸引力决定。
三、符号说明。
n/mm选n”的博彩方式。
n+1/mm选n+1”
n某次购彩总人数。
兑出低项奖的所有金额。
开出低项奖后，留给高项奖的奖金数额
pp＝/ni=1,2,…7）i等奖的中奖率。
i=1,2,…7） i等奖分配的比例（i=1，2，3）或金额（i=4，5，6，7）
i=1,2,3） 抽中i等奖所得金额在高项奖中所占权重。
i=1,2,3） 所给29种方案中，第i等奖的中奖率的数学期望。
i=1,2,3） 所给29种方案中，第i等奖的中奖率的方差。
从m个不同元素中不重复选出n个的组合数。
四、问题的分析及模型的建立。
1. 总的评价准则。
如何去评价一种彩票是否合理？我们认为，“存在即合理；存在得最健康、最有生命力的，就是最合理的。”相应于彩票，我们认为最受彩民欢迎的、最畅销的，就是最合理的。
按照国家彩票主管部门财政部的规定，目前任何一种电脑彩票的返奖率都是50％.一种彩票对彩民的吸引力越大，购者越多，即n越大，这也是发行部门所希望的，此时相应的返还奖金额越大，从而吸引彩民购买。如此形成良性循环；反之，则恶性循环。
因此，我们希望购彩的人数n越大越好，而这依赖于博彩方式是否迎合彩民的购彩动机。
首先，彩票是集娱乐、奉献于一体的社会公益行为，彩民购票的动机一是为公益事业做一点贡献，但身为彩民，最大的愿望还是中奖。在同一个市场中，彩票的中奖率越高，越受到彩民的欢迎，彩票越畅销。于是，中奖率成为设奖方案中的重要数据指标。
其次，历史表明，2024年新中国第一张彩票面世以后，主要是由**和民政部门下达发行销售任务，向党政机关和企事业单位及其职工进行小批量摊派。这一违背彩票规律和市场经济规律的做法一直收效甚微。知道92年下半年，具有中国特色的彩票大奖组销售法的产生。
大奖销售法最显著的特点就是高额奖群。由于大奖组可以设置一个高奖群，也就最大限度地激发了彩民的博彩意识，吊起了彩民的胃口，大奖组销售法一经推出，便使福利彩票发行销售量大幅飞跃。2024年8月至2024年底，全国彩票销售高达33亿元。
这充分说明了中大奖、高奖额对彩民的致命吸引力。
纵上所述，我们认为，吸引彩民的博彩方式最重要的因素：（即我们分析合理性的原则）
一、普遍中奖率；
二、高项奖的中奖率；
三、中高项奖所获金额；
2. 关于中奖率的计算。
关于不同方式各奖项的中奖率，我们容易得到如下表的计算公式。
3. 不同类型所对应原则的侧重。
通过对题中所有“传统型”和“乐透型”方案的普遍中奖率的均值及高项奖与低项奖的资金比例的均值进行分析：
可以看出：“传统型”的平均普遍中奖率远远高于“乐透型”，且前者的资金比例远远低于后者。可以这样认为：
“传统型”可以让更多的人中奖，奖金的分配高低项差别不大，即主要在于较高的普遍中奖率；而“乐透型”中奖机会减小，而主要靠高项奖来吸引彩民。因此在比较时，两者原则上各有倚重。而对这两种类型笼统地加以比较，据资料显示，世界上共有120多个国家发售各种乐透型彩票，我国彩票业从2024年至今已走过13个年头，随着彩票业的发展，乐透型彩票也已经成为一种主流的票种。
即总的来讲，乐透型更受欢迎。
4. 原则的量化即模型的建立。
确立了评价合理性的原则，下一步就是原则的量化，我们想建设目标函数，使之能较好的根据原则来反映出各种不同的博彩方式对彩民的吸引程度。
传统型”的吸引力最重要的体现在较高的普遍中奖率上，所以容易选择g()=做为其目标函数。
对“乐透型”，彩民最关心的是高项奖的中奖率（i=1,2,3）和中高项奖所得金额即（i=1,2,3），我们希望两者都越大越好，但这两个因素又是互相制约的：几率越大，越容易中大奖，则中大奖人数越多，那么每个高项奖得主所得金额反而越少；相反的，几率越小，不容易中，那么中奖的人就少，中奖所得就越多。但总的来讲，彩民在购买彩票时，最重要的是自己能否中取大奖。
如果中不了奖，无论设置的奖金多高多诱人，都只能是水中月，镜中花，可望而不可及。当你食不果腹之时，你是摘那个高高在上、遥不可及的大桃子，还是摘那个稍做努力便可得到，以解果腹之忧的小桃子？当然选择的是后者。
所以高项奖中奖率更重要。
为了反映两者间关系，我们试图建设一函数，将人均中i（i＝1,2,3）等奖所得金额置为底数，将相应中奖率置为指数，这样建设就是考虑到指数的微小变化就可能造成整个值的很大变化(相对而言)，正好对应于中高项奖几率的细小变化就可能会很大程度地影响该博彩方式对彩民的吸引力。于是得到。
f（，）在进行粗躁计算时（我们取了33选选选6+1三种为例），该函数尚能正确地反映它们的受欢迎程度，确如所查资料，33选7最受欢迎，36选6+1次之，传统型的10选6+1最后。
但是，往下验证时我们发现，上式是单调的，的值随的单调增加而增加，就不能很好地反映几率与中奖额互相制约并将在某点达到平衡的关系，这促使我们进一步修改上面的目标函数。我们计算了所给29种方案中，第i等奖的中奖率的数学期望（i=1,2,3）和方差（i=1,2,3），发现，方差均较小，说明各种方案的高项奖的中奖率基本上在其期望附近，于是，一种很自然的猜测：越是，吸引力越大。
这样，我们把修改为，显见此式可以表明几率与中奖额的微妙关系。
5. 加权系数的确定。
我们考虑对。
一、二、三等奖加权，得到，其中为相应权重，
现在，即要max
分析，将之对求一阶导，并令之为0，得到。
类似的，有。
我们已经要求，那么，如此，同理，得到。又，则有。
如此，我们得到用来衡量“乐透型”博彩方式对彩民吸引力的程度的目标函数。
f（，）其中， ＝兑出低项奖的所有金额。
n－ 开出低项奖后，留给高项奖的奖金数额
记p＝/n
五、问题的求解。
函数模型已经建立，现在代入已知进行求解。我们求得所给方案中25种“乐透型”的f值，见附录一。由数据得到第28种方案的f值是最大的，根据f所表达的意义，即说明在“乐透型”里该种方案是最合理的。
总的来说，方案1～4为传统型，比较大，即普遍中奖率比较高，但中大奖机会少，金额小。
方案4～29为乐透型，有相对较高几率的高额大奖，但中奖面狭窄，获奖金额落差过大。
依f值可以排出它们对彩民吸引力的大小顺序，其中，第28种方案（40选6）是最好的。
六、新方案的设计。
下一步骤是设计新的方案，使之更受彩民欢迎。我们最初的想法是在前面求得的最好的方案的基础上，调整其高项奖的分配比例，以期望其f值的提高，可是我们发现这种不痛不痒的调整对f值的提高甚为有限，相当微弱，于是这种想法流产。
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