孟晶晶李莹刘玲。
指导教师：周晓阳。
本文通过分析彩票管理部门和购彩潜在市场相互制约的辩证关系，综合考虑了抽彩方案设计的策略对彩民的激励、购彩市场设计方案的反馈作用。建立了评判彩票**方案合理性的市场激励反馈模型。该模型假设购彩人数服从二项分布，利用逻辑斯蒂模型将各种影响因子综合到二项分布的成功概率之中。
并利用层次分析法合理的确定了各种购彩影响因子的权值。同时利用多项分布的有关结论，成功计算了买方的期望收益。
整个总收益模型综合考虑了彩票管理部门的单注平均收益期望和彩票销售规模的共同作用。因为中各等奖的人次数为随机变量，建模时要用概率论的方法给出单注平均收益期望的表达式，再经过matlab的计算得出其随彩票发行规模变化的曲线。再结合销售规模的概率分布，计算出每个待评定方案的总收益期望值进行比较，以确定最佳方案。
销售规模的确定关键在于该方案对彩民的激励策略因素。我们根据对彩民心理的定性分析，得到影响刺激策略因素的主要指标。然后在前面单注平均收益期望模型的基础上，计算出总收益期望与刺激策略因素的关系曲线。
根据logist模型，将激励策略因素用主要指标加权表示。再根据层次模型，确定各指标的权值。这样，激励策略因素就是指标的函数。
对于不同的方案计算出指标后，就可以确定刺激策略因素值，最终得到相应方案的彩票管理机构总收益期望的确定值。仅仅比较这个值的大小，就可以简单的确定方案的优劣。
然后，根据这个近似实际情况的模型，求取总收益最大时的影响刺激策略因素的指标，就可以评价和得到更优的方案。
利用本模型，容易计算设计出新有更大效益的抽采方案。
近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额**使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。
以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（x表示未选中的号码）。
表一。乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。
投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。
这两种方案的中奖等级如表二。
表二。注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。
表三 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中。
一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：
(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例
1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。
3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
彩民购买彩票是一种十分复杂的随机行为，但是经过分析后可以认为如下的假设仍然是合理的：
1) 彩民购买彩票及抽彩时抽取某一号码的行为是随机的，即购买各号码奖票的概率是相等的，抽取各号码奖票的概率也是相等的。
2) 为简化模型起见，先只考虑采用高额奖无滚存方式，即本期未中的高额奖金额不记入下一期奖金中。
3) 奖金支付占总额比例被规定为50％
4) 如果由于某种原因（如发行量过低而中奖率又很高）造成发放奖金的支出超过了本次发行量金额的50％，则有风险金来补偿。
n 某期彩票售出的总注数。
t 总共发放奖金的实际金额。
i 奖金等级 （i= 1，2…6，7）
mi 低项奖的固定奖金金额（例如i＝4，5，6，7）
bi 高项奖的分配比例（例如i＝1，2，3）
ti 在某次**中i等奖总共发放奖金金额。
q 某种彩票的连续发行的期数。
ni 某期彩票开奖后中i等奖的实际人数。
pi 根据**方案得到的中i等奖的古典概率。
pr 中奖面（中各等奖的概率之和）
s(n) 某抽彩方案的每注平均收益率函数，和彩票售出总注数n有关。
h 最高奖金的数额
np 潜在的购买人次。
s0彩票管理机构的总收益。
p 潜在购买者购买某期彩票的概率。
r拟返还彩民的总奖金数占总销售额的比例，定为50%
彩票的买卖和抽取关系到两方面：彩票管理机构和彩民。彩票管理机构要求多集资，即销售收益最大化；而彩民希望中奖，特别是中大奖。
彩票管理机构通过多种激励策略（即抽彩方案）刺激彩民购买彩票，而彩民的购买行为服从某种市场机制，通过左右彩票的销售额，影响彩票管理机构的抽彩结果和总收益额。我们可以用如下的结构来描述彩票发行的相关机制(图一)：
图一彩票管理部门与彩民的相互关系图。
由于彩民购买彩票、彩票管理部门抽取彩票的行为都已假定为等概率的随机事件，则抽彩结果的统计特性仅由抽彩方案决定。要评价一个**方案的优劣，就需要考虑到彩民与彩票管理机构双方的需求。
对于彩票管理机构来说，关注的是长期收益和每注收益率以及发行风险，希望总收益金额和每注收益率越高越好；同时希望发行风险尽可能的低。由于奖金支付占总额比例被规定为50％，因此总收益金额随发行量n的增长而增长。而发行风险则与彩票的抽彩方案和彩票发行量n有关；对于一个较好的抽彩方案而言，一般发行量越大着发行风险也将越低。
而对于彩民来说，一般更关注彩票抽彩方案中的最高奖金额、中奖面、返还率的因素。这些因素将直接影响到彩民购买彩票的积极性，从而决定购买奖票的总人数n和彩票管理机构最终盈利的金额；同时也将影响彩票管理机构关心的发行风险。
也就是说，彩票管理机构和彩民之间是相互影响，他们的需求是对立统一的。因此，我们将彩票管理机构的收益作为评价一种**方案的合理性是合适的。特别是发行机构的总收益综合反映了机构与彩民对同一方案的满意程度，比较接近实际的情况，也作为我们衡量的最终标准。
关系如下图二所示：
图二抽彩方案与发行机构总收益关系。
给定**人数n, 设1~7等奖的人数、未中奖的人数为n1，n2，… n8，则在本文的假定下，（n1，n2，… n8）服从多项分布。多项分布的具体定义。
定义一：（多项分布）x=是多项随机变量，具有概率向量p=(p1,……pt)，假定xi取非负整数值，其和为n(固定的)，且有。
其中pi>0且。用p)表示这个多项分布。当t=2时，这个分布简化为二项，它写成p)，具有p=(p，q)。
设xn=有多项式分布 p)，其中p=(p1，、、pt)。由于。
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