对创意平板折叠桌的最优化设计。
对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用matlab程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验。
另外，我们通过桌脚边缘线的变化图像来描述折叠桌的折叠过程。
对于问题二，我们以用材最少为目标函数，以稳固性好为约束条件，。并且，当平板的长为163.4702cm,宽为80cm,厚度为3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为0.
4186时，木板的用材最小，其对应的体积为cm。
对于问题三，为了满足客户需求，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，我们给出了软件设计的基本算法。我们考虑了“操场形”桌面和“双曲线形”桌面，得到了“操场形”桌面的的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm.
8728;“曲线形”桌面的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm.2501。
最后，给出了两种桌面的动态变化图。
关键字：曲线拟合最优化设计几何模型折叠桌桌脚边缘线
一、问题重述。
问题背景。某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件**展示了折叠桌的动态变化过程。
目标任务。建立数学模型讨论下列问题：
1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。
建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。
2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。我们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。
给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
二、问题分析。
针对问题一，对于给定某些参数的平板，要建立模型来描述折叠桌的动态变化过程，就必须确定未知参数，如，折叠桌的各个桌腿长以及所穿钢筋所活动区域的卡槽长。根据题意，可以了解到长方形平板的宽度即为圆桌桌面的直径，因此，可以建立相应的空间直角坐标系，利用一定的数学方程通过桌面直径以及桌腿（各木条）的宽度计算出每个桌腿的长度，进而利用其长度和已知的桌高求出个木条的开槽长度。另外，折叠桌的动态变化过程可由钢筋在卡槽中的运动轨迹来描述。
针对问题二，为了达到最优的加工方案，我们可以将多目标优化做一转化，选择以用材最少为目标函数，即选择的木板所用的体积最少为目标，以稳固性好和加工方便为约束条件，利用受力和几何图形分析，将所需考虑的平板尺寸、钢筋位置、开槽长度三个设计参数用未知量表示，采用和问题一类似的数学方法计算未知量为何值时，目标函数的最小值。
针对问题三，为了满足客户对于折叠桌样式与尺寸的需求，我们可以采用与问题一与问题二中类似的分析方法，给出其算法思想，最后可以通过程序得出相应的设计参数和某些创意桌面的动态图。
三、符号说明与问题假设。
符号说明。模型假设。
1. 假设桌子的高度包括桌子的厚度。
2. 假设问题二中桌腿宽度为2.5cm，木板厚度为3cm。
3. 假设在此问题中，忽略钢筋自身的直径。
4. 假设桌脚与地面完全接触并且忽略各个木条间的缝隙。
四、模型建立与求解。
问题一：模型建立。
根据问题首先我们可以建立几何模型对问题一进行求解。
1）计算每根桌腿的长度。
根据题目所给条件，组成桌腿的每根木条的宽度为2.5cm，另外，我们知道所给木板的宽度等于折叠后圆形桌的直径，即桌面直径为50cm，也就是说，该圆桌左右两边共有20根木条。
由于折叠后的圆桌关于平行于长方形木板的宽的一条直径对称，因此折叠桌的相关性质我们只需考虑圆桌的左半边或右半边，又由于，折叠后的圆桌的一边也是互相对称的，故本文中只以圆桌的1/4为研究对象，即只研究10根木条的相关变化趋势。
结合以上分析，我们做出折叠前的长方形木板的俯视图，并且以圆桌的圆心为坐标原点，以垂直于桌面的为z轴，平行于长方形宽的直径为y轴，垂直于该直径的为x轴，建立空间直角坐标系，如图1所示：
图1 空间直角坐标系。
对于以上的坐标系，可以得到第根木条宽度的中点落在轴的坐标，由于每根木条的宽度相同，显然，为等差数列。
由图1及已知条件可知，每根木条的宽度的中点在圆上，所以，，…由于位于圆周上，因此有。
将代入上述圆的方程中便可以得到的值。
已知木板长120cm,即两边分别长60cm，则第条桌腿长，因此，只需要求出各点在圆上的坐标即可求出各个腿长。
2）计算每根桌腿的槽长大小。
由于钢筋在旋转过程中不发生任何形变，因此，通过对折叠过程的分析可以知道，每根桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，圆桌高度是53cm，厚度是3cm，所以实际桌高应该是50cm
因为钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，所以钢筋固定点到圆桌边缘的距离。
根据三角形相似和勾股定理可得，最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离，并且满足，由上式即可解出。
具体分析图如图2：
图2 立体分析图。
最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是，即桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离也为，则。
平面时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离：
立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离：
每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差表示。
3）桌角边缘线的数学描述。
由（2）求得立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离，每根桌腿钢条所在位距离圆桌的高度为，每根桌腿长为，每根桌腿所在位置距离圆桌的垂直高度为，如图所示利用相似三角形原理，可得即。
图3 每根桌腿所在位置距离圆桌的垂直高度示意图。
为了研究桌角边缘线的相关形式，我们对，即对桌角边缘点的三维坐标进行多项式拟合，其形式如下：
问题一模型求解。
1）由于桌腿的宽度为2.5cm，且圆形桌的直径等于木板的宽，即为50cm，所以以圆形桌两边对称，一边有20条桌腿，我们以桌面的1/4为研究对象，即共10条桌腿。
根据所建立的直角坐标系，利用等差数列下不同的求解不同的圆桌边缘长，进而利用求得桌腿长。在matlab中进行编程得到10条桌腿的长度分别为（单位：厘米）(具体程序见附录1)
表1 桌腿的长度表。
因为桌高cm,由表1可知最外侧的桌腿长为52.19cm，而最外侧桌腿一定与垂直方向存在夹角，故最长腿长度一定大于垂直高度，即52.19>50，所以所得结果符合题意。
2）由题意可知立体时最外侧桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离。
最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度，可以得到最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离。
最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是。
根据桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，通过计算得到立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离，每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差，在matlab中对10条桌腿的卡槽的长度计算进行编程，得到10条桌腿的卡槽长度由外侧向内分别为（单位：厘米）(具体程序见附录2)
表2 桌腿卡槽长度表。
3）求解桌脚边缘点的坐标。
在matlab中解出对每根桌腿所在位置距离圆桌的高度为，即20根桌腿边缘点的三维坐标如下表3所示：
表3 桌腿最底端三维坐标表。
根据上述坐标，对其做散点图，图像如下：（具体程序见附录3）
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