武汉理工大学2023年数学建模与**课程**。
题目：金属板切割问题。
姓名： 李***
学院： 机电学院
专业： 机自 zy***
学号：012120***
选课老师。2023年6月23日。
金属板切割问题。
摘要。在工业生产中，用最少的投入获得最大的产出是永恒不变的主题。这篇文章的目标是针对小钢板数目和规格的要求，为大钢板的切割利用给出经济的解决方案。
文章将该问题抽象为一个整数规划问题。求解的主要思想是：首先，按照一定思路给出一个完善的切割方案库；然后分析限制条件，列出约束方程，利用求解数学规划的专业软件lingo编程求得最优解。
模型求解得：完成生产目标，最少需要切割10块大矩形钢板，模型同时给出了一种可以实现最优解的切割方案。
该方案思路清晰，拟合妥帖，具有极好的普适性，达成了求解目标。
关键词：合理切割；整数规划；最少投入。
1.问题的重述。
使用最少数量的大小为48分米×96分米的大矩形金属板，切割出8块大小为36分米×50分米的矩形金属板，13块大小为24分米×36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米×30分米的矩形金属板。
2.建模与求解。
2.1单块大金属板切割方案库设计。
将36分米×50分米的矩形金属板标记为x，将24分米×36分米的矩形金属板标记为y，同理，将18分米×30分米的矩形金属板标记为z。于是在切割大矩形金属板时，仅可能出现如下七中情况：
现实情况中，材料一定要得到充分的利用，于是规定：本部分所给出的切割方法在满足上述七种情况的任意一种的前提下，必须得到充分利用，即不能再被分割。于是，切割方法如下所述：
1）仅切割出x矩形。
图12) 仅切割出y矩形。
图23）仅切割出z矩形。
图34）同时切割出x和y矩形。
图45）同时切割出x和z矩形。
图56）同时切割出y和z矩形。图6图7
图97）同时切割出x、y和z矩形。
图10综上所述，在七种情况下，共给出了十种具体的大矩形金属板切割方法。
2.2构造约束方程。
设n1、n2、n3、n4、n5、n6、n7、n8、n9、n10分别表示上述十种方法下料的原料块数，每种方法切割出的x、y、z的数目在图旁边的**中予以展示。
则有：min=n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8+n9+n10
n1+n4+n5+n10>=8
5×n2+2×n4+n6+2×n7+3×n8+4×n9+n10>=13
8×n3+3×n5+6×n6+5×n7+3×n8+n9+n10>=15
需要指明的是，根据模型的实际意义，n1到n10均只能取非负整数作为结果。
2.3 lingo程序及结果分析。
lingo是求解数学规划的专业软件，本程序将方案数据以数组形式表达，简洁明了，具体程序参考附件。
程序运行结果如下截图（图11）所示：
图11该结论含义为，当n4=5、n5=3、n7=2时，此方案满足上述所有约束条件。经过验证，此方案共切割出x=8>=8、y=14>=13、z=19>=15,显然满足三个不等式约束方程的约束，min=n4+n5+n7=10，即最少需要切割10块大矩形金属板。
需要指出的是，程序给出的只是所有最优解中的一种，肯定不能涵盖所有的情况，但是需要切割大矩形金属板的最少数目是一定的。
3.模型的评价与推广。
该模型的优点是思路简洁清晰、易于落实。但是对大矩形金属板的切割方法需要按照一定顺序进行列举，如若列举不当，很可能无法求出最优解；其次，程序没能给出所有得到最优解的切割方案供工人师傅选择，这也是需要改善的地方。
该模型非常基础，然而应用范围极广。首先列举出可能方案，然后利用约束条件进行限制的方法在原料配比，工作安排等问题上非常实用。如果利用程序自动寻找方法库而非人工列举，那么模型的应用会更加便捷。
4.参考文献。
1] 袁新生、邵大宏、郁时炼，lingo和excel在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007。
2] 阿杜杜，运筹学**，fin8osp85p7yfe8y5sj953-bjw9edwriaztvdiea2o9e14vcbk826nnjtwujxqimsjgxkq-n2lfq5_az00abp8i ,2014/6/24。
3] 叶知秋，数学建模**模板（经典），zggmt5emcoeodn_lfa5566peh_k6a82vzq7l2euydii3wtumi，2014/6/24。
5.附录。数学模型的lingo 程序及其注释：
model:
sets:num/n1..n10/:ni; !十种切割方法；
lim/l1..l3/:li; !三种类型的小矩形板；
links(lim,num):x; !切割方案具体数据；
endsets
data数据输入；x=
li=8,13,15;
enddata
for(lim(i):@sum(links(i,j):x(i,j)*ni(j))>li(i));三个不等式约束方程；
for(num:@gin(ni));限制变量为整数；
min=@sum(num(i):ni(i));最小值条件；end
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