2019数学建模B题

折叠桌的设计应做到产品稳固性好（力学性能分析）、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等(再加一个特色的)。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

假设桌面均匀受力。

根据题意，为了提高稳固性，需要做力学性能研究，一个好的设计没有实用性就不能使用，所以我们把力学性能分析放在首要地位。为了使加工更加方便和用材最少，我们会在稳固性好的前提下减少使用的钢筋数量和选择最优加工参数。

首先对于设计者设计的桌子的力学性能分析。我们将作品除支撑外的所有木条以及对应的销钉和绞都去掉，得到如下图所示的结构（图中另一侧的两个台脚没有画出，实际存在）。

其对应的两种力学模型如图所示：

左图是对应简支梁的弯矩图，若f即摩擦力不足够大，则会导致结构发生变化。

右图则是对应桌脚铰接于地面的图，该结构处于几何可变状态，不能受力。

因此我们选择左图对应的力学模型来分析此问题。

当结构增加了木条连接销钉和桌面，形成如下图所示的结构：

根据力学原理，每增加一根木条，该结构的超静定次数便多增加一次，因此该结构为多次超静定结构，采取增加木条的方法来增加超静定次数，降低受力敏感度，是提高其稳定性的重要因素。多年的工程实践证明，采用优良的结构形式，对抵抗较大幅度的超载、随机外力以及避免脆性破坏或连续破坏有十分重要的意义。

另外，为了尽可能减少摩擦力对整个结构受力的影响，桌脚木条与水平面的夹角应该有所限制。

若杆ab的长度为l, f为摩擦力，n为支持力。根据力矩平衡，对b点求矩，，求得，因此角趋向于90°时，也即桌脚与水平面垂直的时候，摩擦力为0，此时摩擦力对桌子结构的影响最小。但是当考虑整体结构的时候，若桌脚与水平面垂直的时候，其他木条则均处于桌面下侧，并向里侧收缩如图所示：

根据受力平衡，对于桌脚木条来说就会受到销钉提供的很大的向外侧的力作用，对于力学性能来说是一个很大的影响，因此对于整体结构来说，桌脚与水平面的夹角为90°并不是最佳角度。

我们？？？由于我们通过增加木条数去提高盖木板桌的稳定性，所以在木条数量较多的前提下，我们假设中心木条到最外侧桌脚木条的角度变化量是一个恒定值，即它们与水平面的夹角是一个等差数列。

在此假设下，若等差数列的中值等于90°时，向内的木条数和向外的木条数相当，我们认为此时整体结构受摩擦力的影响最小。根据上一问求出的最外侧桌脚木条与水平面的夹角60.1°以及中间木条与水平面的夹角71.

5°，我们可以求得最佳角度：

根据上述的最优角度、上一问设置的最小边缘预留空间5cm，以及客户要求的桌高是70cm，可以推出桌面的长度a：

对于木条的截面尺寸，首先我们先假定使用的销钉直径d为1cm，通过查表可以得知木条对应的抗弯强度为80mpa，以每根木条最多能承受到200的力矩为标准，相当于桌面承受的最大重量约100kg，根据材料力学的抗弯强度计算公式。

则被销钉穿过的位置，由于截面面积最小，最容易受到破坏，而同时由于在相同截面面积的情况下，截面为方形时最合理，所以作为约束条件，应该是。

通过计算可以算出：

对应的木条厚度。

根据前面的长度a与厚度的关系，可以求得：a=150.66cm

此长度仅仅考虑了用材多少，而没有考虑实际中钢筋位置和开槽长度的影响。

问题改进，利用ansys的有限元分析模型可以将该结构每一个位置的应力利用热力图的形式显示出来，从而得出应力集中的地方，可以更有助于我们进行部分脆弱位置的加固。