实验九。
096160081 李杰峰。
1、完成下列两题中的任一题，给出分析过程并对结果作出必要的解释：
书上173页的习题3；
书上173页的习题4；
2、建模解决野兔的数量问题：
在某地区野兔的数量在连续十年的统计量（单位十万）如下。
分析该数据，得出野兔的生长规律，并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，**t=10时野兔的数量。
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为。
初始兵力相同。
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定。
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负。
解：用表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数，则正规战争模型可近似表示为：
现求(1)的解： (1)的系数矩阵为。
再由初始条件，得。
又由。其解为
即乙方取胜时的剩余兵力数为。
又令。注意到。
2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援。则。
相轨线为。此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为。
2、建模解决野兔的数量问题：
在某地区野兔的数量在连续十年的统计量（单位十万）如下。
分析该数据，得出野兔的生长规律，并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，**t=10时野兔的数量。
解：问题重述：野兔生长问题。
首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种**展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈j型增长的。
现实情况中，种群一般是呈s型增长的，从题中**看出，野兔的数量并不是单一地增长，t=3，6.90568；t=4，6.00512；t=5，5.
56495；t=6，5.32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。
我们**了其中的因素：
1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。
1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。
2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。
3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。。
4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。
考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个logistic模型来模拟。
假设：上述，野兔生长问题，我们假设。
1）,假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。
2），假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
3），假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。
4），假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；
那它是可以用logistic模型来模拟的。
分析与建立模型：对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。
不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。
第一个单调增区间。
第一个单调减区间。
第二个单调增区间。
我们把野兔生长情况分成了上表三个区间，建立野兔生长的logistic模型。
模型的求解：对于logistic连续模型，设微分方程为
其中参数a，b 需要通过拟合得到。
1） 的解为。
设已知连续三年的数据，其中，则由（2）得方程组。
这三个方程中有三个未知量可以解出a,b如下： 将（3）中第一式代入第。
二、三式消去x0， 得。
消去a 后得b 满足的方程。
解得代入(4) 的第一式得a 满足的方程。
求参数a,b的matlab程序。
function [a,b, q]=hare(p,t)
输入单调的连续三年数量p和时间间隔t(本题t=1), 输出参数 a, b和下一年的数量q
a=log(p(3)*(p(2)-p(1))/p(1)*(p(3)-p(2)))
b=(p(2)^2-p(3)*p(1))/p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3))/p(2);
q=1/(b+(1/p(3)-b))*exp(-a*t)）;
在第一个上升阶段， 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组a，b值。
在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a，b值。
在第二个上升阶段，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a，b值。
当取a, b为最后一组数据时，t=10 时由(2) 得到**数为9.84193（十万）,当取a=1，b=0.1 时，**数为9.84194（十万）.
结论是： 在 t=0 到t=3 之间增长规律为logistic模型：.
在 t=3 到t=6 之间增长规律有异常情况， 但仍为logistic模型；：.
在 t=6 到t=9 之间增长规律恢复为logistic模型：.
在t=10 时， 在正常情况下， 野兔数量为 9.84194（或9.84193）（十万）只。
096160075 杨振亚 09数基。
1.在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为a/b=4，初始兵力与相同。
1）问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜时间如何确定。
2）若甲方在战斗开始后有后备军以不变的速率r增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负。
解由5.3节图11，乙方取胜时的剩余兵力为。
又因为，所以。
要确定乙方取胜时间，需求解方程组，可得：
令，由可以算出与甲方战斗有效系数b成反比。
2）在这种情况下，战争模型（3）的第一个方程改为，相轨线为5.3节图11中的轨线上移r/2a，乙方取胜的条件为即。
2、建模解决野兔的数量问题：
在某地区野兔的数量在连续十年的统计量（单位十万）如下。
分析该数据，得出野兔的生长规律，并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，**t=10时野兔的数量。
解问题重述：野兔生长问题。首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种**展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈j型增长的。现实情况中，种群一般是呈s型增长的，从题中**看出，野兔的数量并不是单一地增长，t=3，6.
90568；t=4，6.00512；t=5，5.56495；t=6，5.
32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。
分析与建立模型：对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。
不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。
第一个单调增区间。
第一个单调减区间。
第二个单调增区间。
我们把野兔生长情况分成了上表三个区间，建立野兔生长的logistic模型。
模型的求解：对于logistic连续模型，设微分方程为
其中参数a，b 需要通过拟合得到。
1） 的解为。
设已知连续三年的数据，其中，则由（2）得方程组。
这三个方程中有三个未知量可以解出a,b如下： 将（3）中第一式代入第。
二、三式消去x0， 得。
消去a 后得b 满足的方程。
解得代入(4) 的第一式得a 满足的方程。
求参数a,b的matlab程序。
function [a,b, q]=hare(p,t)
输入单调的连续三年数量p和时间间隔t(本题t=1), 输出参数 a, b和下一年的数量q
a=log(p(3)*(p(2)-p(1))/p(1)*(p(3)-p(2)))
b=(p(2)^2-p(3)*p(1))/p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3))/p(2);
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