028高一数学自主招生

一、填空题（每题5分，共25分）

1．实数x1，x2满足x1- x2 =，则x1，x2的方差等于 ▲

2． cd为rt△abc斜边上的高线，ac、bc为x2-5x+2=0的两根，则ad·bd的值等于 ▲

3．如图，△abc中，ab=ac=8，d、e、f为bc、ab、ac上的点，de=db，df=dc，be+cf=4，则bc= ▲

4．如图，rt△abc纸片中，∠c=90°，bc=1，ab=2，沿ad对折，使点c落在ab边上，则tanα=

5．如图，在直角坐标系中，点p（3，3），两坐标轴的正半轴上有m、n两点，且∠mpn=45°，则△mon的周长等于 ▲

二、选择题（每题5分，共25分）

6．若关于x的不等式组有解，则函数y=（a-3）x2-x-图象与x轴的交点个数为（▲）

a）0 （b）1

c）2 （d）1或2

7．设a、b、c、d、e的值均为中之一，且a+b+c+d+e=6，a2+b2+c2+d2+e2=10，则a3+b3+c3+d3+e3的值为（▲

a）14 （b）16 （c）18 （d）20

8．正五边形对角线长为2，则边长a为（▲）

a）-1 （b）+1 （c）3- （d）2-3

9．如图，圆o的圆心在梯形abcd的底边ab上，并与其它三边均相切，若ab=10，ad=6，则cb长（▲）

a）4b）5

c）6d）无法确定。

10．平面直角坐标系中，已知点p0（1，0），将点p0绕原点o按逆时针方向旋转30°得到p1，延长op1到p2，使op2=2op1；再将p2绕点o按逆时针方向旋转30°得p3，然后延长op3到p4，使op4=2op3；……如此下去，则点p2004的坐标为（▲）

a）（-22004，0）（b）（-21002，0）（c）（0，21002）（d）（21002，0）

三、解答题（共50分）

11．（12分）设x1、x2是方程x2-6x+a=0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，试求a的取值范围。

12．（12分）先阅读下列一段文字，然后回答问题。

某运输部门确定：办理托运，当一件物品的重量不超过a千克（a＜18）时，需付基础费30元和保险费b元；为限制过重物品的托运，当一件物品的重量超过a千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付c元超重费。设某件物品的重量为x千克，支付费用为y元。

1）当0＜x≤a时，y= ▲用含b的代数式表示）；当x＞a时，y= ▲用含x和a、b、c的代数式表示）。

2）甲、乙、丙三人各托运了一件物品，重量与支付费用如右表所示：①试根据以上提供的信息确定a、b、c的值，并写出支付费用y（元）与每件物品重量x（千克）的函数关系式。②试问在物品可拆分的情况下，用不超过120元的费用能否托运55千克物品？

若能，请设计出一种托运方案，并求出托运费用；若不能，请说明理由。

13．（本题13分）如图，rt△abc中，∠acb=90°，ca=3cm，cb=4cm，设点p、q为ab、cb上动点，它们分别从a、c同时出发向b点匀速移动，移动速度为1cm/秒，设p、q移动时间为t秒（0≤t≤4）.

当∠cpq=90°时，求t的值。

是否存在t，使△cpq成为正三角形？若存在，求出t的值；

若不存在，能否改变q的运动速度（p的速度不变），使△cpq成为正三角形？如何改变？并求出相应的t值。

14．（本题13分）已知定点f（0，-2），动点p（x，y）到f点的距离与它到x轴的距离相等。

1）写出y关于x的函数关系式。

2）若（1）中的函数图象与过f点的直线y=kx+b交于a、b两点，请用k表示线段ab的长；

以ab为弦的圆与y轴交于m（0，－4＋2）、n（0，－4－2）两点，求此时直线y=kx+b的解析式。