【题目】
李四。左中右。上。中。
下。找出这个博弈的所有纳什均衡点，你认为哪一个均衡点是实际行为最为可能的结果？为什么？（奇数定理）
解答】：（1）使用划线法找到纯策略的纳什均衡点，可发现（张三选中，李四选右）是一个纯策略纳什均衡。因为，纯策略也可以看作混合策略，即选择相应的纯策略的概率为1，选择其余纯策略的概率为0的混合策略，所以，张三选中，李四选右 是一个纯策略的纳什均衡点，（60,76）是这个纳什均衡的双方得益结果。
李四。左中右。
上。张三中。
下。2）再找混合策略的纳什均衡点：
李四。左中右
上p 张三中q
下1-p-q
st1-s-t
如图 ，分别设张三选上、中、下的概率为p、q、1-p-q，张三的策略收益为a。
设李四选左、中、右的概率为s、t、1-s-t，李四的策略收益为b。
因为，张三的各项策略收益是建立在李四选择的策略的概率的基础上的，如果李四不想让张三利用自己的选择倾向占上风，那么李四自己的概率选择应使张三选择三种策略的期望得益相等，即a1=a2=a3：
张三的上策略收益为： a1=12*s + 42*t +42 *(1-s-t)
张三的中策略收益为： a2=24*s + 12 * t + 60 * 1-s-t)
张三的下策略收益为： a3=72*s + 36 * t + 42 * 1-s-t)
由此解得李四的左、中、右选择概率分别为：
s=1/27 t=10/27 1-s-t=16/27
因为，李四的策略收益是建立在张三选择策略的概率基础上的，如果张三不想让李四利用自己的选择倾向占上风，那么张三自己的概率选择应使李四选择三种策略的期望得益相等，即b1=b2=b3：
李四的左策略收益为：b1=83 * p +12 * q + 47 * 1-p-q)
李四的中策略收益为：b2=56*p +42 * t +95 * 1-p-q)
李四的右策略收益为：b3 = 45 * p +76 * q +59 * 1-p-q)
由此解得张三的上、中、下选择的概率为：
p=113/200=226/400 q=5/16=125/400 (1-p-q) =49/400
上述算出的概率代入双方的策略收益公式中可以求出博弈双方相应的收益：
张三的总收益= (12*1/27+42*10/27+42*16/27)+（24*1/27+12*10/27+60*16/27）
李四的总收益=（83*226/400+12*125/400+47*49/400）
因此，是一个混合策略的纳什均衡，据此得出双方的收益结果为（368/3, 67683/400）
3）去掉纯策略纳什均衡点，即张三选择中的概率为0，李四选择右的概率为0。
李四。左中右。
上 张三中
下 得益矩阵图变为：
李四。左中
张三上p下1-p
s1-s 设李四选择左，中的概率为s,1-s，同理（2），要使张三在李四所选概率下选上、下的策略收益相等，联立等式可得：
12*s+42*(1-s) =72*s+36*(1-s)→ s=1/11 ，1-s=10/11
设张三选择上，下的概率为p,1-p，同理（2），要使李四在张三所选概率下选左、中的策略收益相等，联立等式可得：
83*p+47*(1-p)=56*p+95*(1-p)→ p=16/25 ，1-p=9/25
上述算出的概率代入双方的策略收益公式中可以求出博弈双方相应的收益：
张三的总收益 = 12*1/11+42*10/11）+ 72*1/11+36*10/11) =864/11
李四的总收益 = 83*16/25+47*9/25）+ 56*16/25+95*9/25) =3502/25
因此，是另一个混合策略的纳什均衡（是在去掉纯策略纳什均衡点的情况下），据此得出双方的收益结果为（864/11, 3502/25）
作业2错误总结：
1、本题中的得益矩阵中没有严格下策，因此不能运用严格下策反复消去法。
2、错把收益当成混合策略纳什均衡点。纳什均衡是策略的选择，而非结果，矩阵中的数据是指双方的收益，是策略的最终收益结果而非策略本身。
3、计算概率最好用分数来表达，并且进行统一通分，这样做的好处是一方面可以容易比较大小，另一方面是可以检验结果。（一方的概率之和应该等于1）
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