“矩阵论”课程研究报告。
科目： 矩阵理论及其应用教师。
姓名学号。专业： 机械设计及理论类别。
上课时间： 2023年2月至2023年5月。
考生成绩。阅卷评语。
阅卷教师 (签名。
利用矩阵论相关知识求解传动轴。
固有频率的有限元分析法。
摘要：在结构力学中，求解结构自由振动的固有频率是十分重要的内容。本文通过对某机器传动轴各个单元进行单元刚度矩阵、单元质量矩阵等特性分析，再把各个单元的特性矩阵组集起来组成结构的总刚度矩阵、总质量矩阵，从而形成结构的自由振动方程式。
最后利用矩阵论相关知识求解自由振动方程式的广义特征值，并通过广义特征值与固有频率的关系求得传动轴的固有频率。
正文。一、问题描述。
已知某机器传动轴两端固定，其传动轴受扭长度l为1500mm，传动轴的横截面积是环形，其外径d为50mm，内径d为45mm，弹性模量e为。利用矩阵论及有限元分析法求解传动轴的固有频率。
二、方法简述。
1.建立传动轴的有限元分析模型。
由于传动轴两端固定，采用平面梁单元分析该传动轴。考虑到本次计算是手算，为了简化计算，将该传动轴划分为（1）、（2）两个单元，共三个结点。由于该结构中一个结点有两个自由度，故总共有六个自由度。
建立有限元分析模型及各个部分编号如图1所示。
图1 传动轴有限元分析模型。
2.平面梁单元的单元刚度矩阵。
由《机械结构有限元分析》中形状函数n的构造方法可知，对于该结构的平面梁单元，它有两个节点，四个自由度，采用自然坐标系，通过构造计算可得单元的形函数为。
其中为结点编号，v为结点位移，为结点转角，，为梁单元的长度。
平面梁单元的单元刚度矩阵。
其中e为弹性模量，i为惯性矩。
而，通过对形状函数（1）式求两次导数得。
显然，b也是x的函数对（2）式所有项积分得平面梁单元的单元刚度矩阵。
故。3.平面梁单元的单元质量矩阵。
由（1）式我们得到了平面梁单元的形状函数，而单元质量矩阵公式为。
其中梁单元密度，a为梁单元的横截面积。
将形状函数（1）式代入（5）式，对所有项积分得。
故。4.传动轴总刚度矩阵。
按照有限元分析法中总体刚度矩阵组集的叠加方法，将两个单元刚度矩阵叠加后即可得到总刚度矩阵。由于该结构有共六个自由度，故总刚度矩阵是六阶方阵。而由号自由度组成，由号自由度组成，故叠加时应自由度对号入座相互叠加。
叠加所得总刚度矩阵为。
5.传动轴总质量矩阵。
按照有限元分析法中总质量矩阵组集的叠加方法，将两个单元质量矩阵叠加后得到总质量矩阵，叠加方式与获取总刚度矩阵叠加方式一样，自由度对号入座相互叠加。故可得到总质量矩阵为。
6.振幅列阵。
因为传动轴总共有三个结点，结点处有六个自由度，分别是，故可以得到振幅列阵为。
7.传动轴自由振动方程式。
在有限元分析中，结构自由振动的方程式推导为。
由于支撑条件给出了，故在总刚度矩阵、总质量矩阵、振幅列阵中应删掉所对应的行和列，也就是自由度所对应的行和列。这样，我们就得到了简化的自由振动方程式。
那么，。8.利用矩阵论相关知识求解固有频率。
令，则自由振动方程式变为。
这就是矩阵论中求解某矩阵相对于另一矩阵的广义特征值问题。我们利用矩阵论中广义特征值的求法求。
考虑到。是对阵正定矩阵，则其逆矩阵一定存在，将（12）式做如下变换：
那么我们就得到。
令。则（13）式又变形为。
对于（14）式来说，在矩阵论中相对于求p矩阵的特征值问题。
下面计算p矩阵的特征值：
求解得。由特征值与频率之间的关系，便可以求得固有频率：
由于，将其代入，得。
以上便是利用矩阵论求解固有频率的方法。
三、实验数据和结果。
该实验已知数据如下表所示：
计算传动轴横截面积：
计算传动轴的惯性矩：
则传动轴的频率为：
四、结果分析与说明。
由以上有限元分析法与矩阵论相关知识求得的传动轴频率为，。而在结构力学中，利用一般公式求得的频率精确值为。
那么前者相对误差为。
由误差分析知，当将传动轴划分为两个单元来求解频率时，其一阶频率与精确值已经比较接近，但二阶频率误差较大，但是若继续增加单元数量，利用软件来计算传动轴的频率，那么该误差还能减小。因此，通过有限元分析法并结合矩阵论相关知识来求解该传动轴的固有频率的方法是可行的。
参考资料。1] 张文志韩清凯刘亚忠戚向东。机械结构有限元分析[m].哈尔滨工业大学出版社，2023年7月。
2] 李新何传江。矩阵理论及其应[m].重庆大学出版社，2023年8月。
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