矩阵的分解。
一、 矩阵的三角分解。
定义 3.1 设。
1) 若分别为下三角矩阵和上三角矩阵，则称可作分解。
2) 若分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，为对角矩阵。则称可作分解。
用gauss消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第行乘以数加到第行（）型初等变换就能把化为上三角矩阵，则有下三角形可逆矩阵使从而有分解：
例1 设，求的分解和分解。
解为求对下面的矩阵做如下行初等变换：
因此 .令。
则。再利用初等变换，有。
就得到。其中
一般来说，分解一般不是惟一的。下面讨论方阵的和分解的存在性和唯一性。
定理 3.1 设则有惟一分解的充分必要条件是的顺序主子式。
其中 证明：只证充分性：对的阶数进行归纳证明。
所以定理对成立，设定理对成立，即。
则对将分块成。其中。设。
比较两边，则有。
由归纳假设（3.1）式成立。由非奇异，非奇异，从而由(3.2)式和(3.3)式可惟一确定和。 又从(3.4)式可唯一求得所以分解是存在而且惟一的。
又由归纳证明过程，的阶顺序主子式。
所以。推论可逆矩阵有分解的充分必要条件是的顺序主子式。
例 2 设，求的分解。
解由(3.1)—(3.4)式，得到。
所以 同理求得：
从(3.1)—(3.4)式求得。
所以。定义3.2 设矩阵有惟一的分解。若把中的和结合起来，并且用来表示，就得到唯一的分解。
称为的doolittle分解。
练习：求矩阵。
的ldu分解和doolittle分解。
矩阵的满秩分解。
定义 3.2 设，秩()=若存在秩为的矩阵使得。
则称(3.7)式为矩阵的满秩分解。
定理 3.2 对任何非零矩阵都存在满秩分解。
证明：设秩由等价标准形知道存在可逆矩阵使得。
即。分块为。
为的前列组成的矩阵，则且秩秩。
分解方法二：若只对作行初等变换，可得到阶梯形矩阵： 其中秩秩秩，因此有可逆矩阵使。
从而。方法是。
为的前列，是化为阶梯形中的非零行。.
例 4 设求的满秩分解。
解 解得 ，所以，
方法 3. 我们首先考虑这样的情形： 设秩而且的前列线性无关，则它们是的列向量的极大无关组设则秩又的后列可表示为列向量极大无关组的线性组合，设。则。其中
满足。因此。
即。即即为满秩分解。
hermite标准形是阶梯形中每一行第一个非零元素为1，而且该元素所在的列中其它元素为0的特殊的一种。方法三如下：
1) 用行初等变换把化为hermite标准形。
2) 依hermite标准形中，向量所在的列的位置为第列，相应取出的第列，得到的列向量极大无关组。
3) 的hermite标准形中非零行构成矩阵，得到的满秩分解：
例 5. 用方法三求例四中的满秩分解。
解用行初等变换花为hermite标准形。
则可知：秩的前两列线性无关，取出的前两列构成因此。
第四章矩阵的广义逆。
定义 4.1 设若存在矩阵使得。
则称是左可逆的，称为的一个左逆矩阵，记为。
若存在矩阵使得。
则称是右可逆的，称为的一个右逆矩阵，记为。
定理 4.1 设则下面的条件是等价的：
1) 是左可逆的；
2)的零空间。
3)秩即的列满秩的；
4)是可逆的。
定理 4.2 设，则下列条件是等价的：
1)是右可逆的；
2)的列空间。
3) 秩即是行满秩的；
4)是可逆的。
例 1 矩阵是右可逆的，不是左可逆的。由于。
注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。
一般地，一个矩阵左可逆未必右可逆，而且左逆矩阵和右逆矩阵都不是唯一的。
二、 单侧逆与解线性方程组。
定理 4.3 设是左可逆的，是的一个左逆矩阵，则线性方程组有形如的解的充分必要条件是。
若上式成立，则方程组有唯一解。
定理 4.4 设是右可逆的，则线性方程组对任何都有解。且对的任意一个右逆矩阵是其解。特别地，是方程组的一个解。
4.2 广义逆矩阵。
一、减号广义逆。
定理 4.2 设若存在矩阵使得。
则称为的一个减号广义逆或—逆。
的全部减号广义逆的集合记为的元素用表示。
定理4.5 设秩，若存在可逆矩阵和使得。
则的充分必要条件是。
其中是任意的。
例 2 设。
求的减号广义逆。解。于是。
所以的减号广义逆为。
其中。作业：
求矩阵。的逆（15分）
三、 moore-penrose 广义逆。
定义4.3 设若存在矩阵使得。
则称为的moore-penrose广义逆或加号广义逆，简称为的m-p逆。的任意m-p逆记为。
定理 4.7 若矩阵存在m-p广义逆，则的m-p逆是唯一的。
定理 4.8 任意矩阵都存在m-p广义逆。设秩的一个满秩分解为。秩秩。则。
例 6 求矩阵的m-逆。
解首先求得的满秩分解为。故。
矩阵论习题
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矩阵论试题 2019
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