1、阅读：如图①，正方形abcd的对角线ac、bd相交于点o，过点o作直线ｍ，作de⊥ｍ于e，作cf⊥ｍ于f四，通过观察或测量。
猜想线段de、cf与ef之间的数量关系，并说明理由。
小平是这样写的：
解：猜想ef=de+cf
证明：∵四边形abcd是正方形∴od=oc，∠doc=90°（正方形的性质）
de⊥m，cf⊥m∴∠deo=∠cfo=90°
∠1+∠2=90°∠1+∠3=90°∴∠2=∠3(同角的余角相等)
在△deo和△ofc中。
△deo≌△ofc ∴de= of，oe= cf
ef=oe +of ∴ef=de +cf(等量代换)
问题：如图②，若将上题中的直线m绕点o逆时针旋转一个角度，到如图所示的位置，通过观察或测量猜想线段de、cf与ef之间的数量关系，并说明理由。
2、用两个全等的等边三角形△abc和△acd拼成菱形abcd.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点a重合，两边分别与ab、ac重合。将三角尺绕点a按逆时针方向旋转。
1）当三角尺的两边分别与菱形的两边bc、cd相交于点e、f时（如图所示），通过观察或测量或推理我们能得到be=cf。下面给出了推理过程，请你填写理由：
说理：∵∠bac=∠eaf=60
∠bac－∠eac=∠eaf-∠eac
即∠bae=∠caf
△abc、△acd是等边三角形。
ab=ac，∠b=∠acf=60
△abe≌△acf
be=cf2）当三角尺的两边分别与菱形的两边bc、cd的延长线相交。
于点e、f时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？
说明理由。3、在图1—3中，直线ef经过∠acb的顶点c，且ca=cb.
1）如图1，∠acb=90°，直线ef经过∠acb的外部，且∠aec＝∠cfb=90°，此时可以判断①△aec≌△cfb②ae＋bf＝ef。
小明的思考过程如下：
在△aec中，∠aec=90°，∠a+∠1+∠aec=180°
∠a+∠1=90°
∠ecf是平角，∠acb+∠1+∠2=180°，∠acb=90°
∠2=∠a（等角的余角相等）
在△aec和△cfb中。
△aec≌△cfb（aas），ce=bf，ae=cf，ef=ce+cf=ae+bf，即ef=ae+bf．
2）如图2，∠acb＞90°，直线ef经过∠acb的外部，当∠aec＝∠cfb=∠acb时，判断△aec和△cfb是否依然全等？说明你的思考过程。
3）如图3，∠acb＜90°，直线ef经过∠acb的内部，当∠aec＝∠cfb=∠α时，∠acb=∠β请直接写出当∠α和∠β满足什么关系时，△aec≌△cfb？并说明此时线段ae、bf、ef之间所满足的数量关，不必说明理由。
4、阅读：rt△abc和rt△dbe，ab=bc，db=eb，d在ab上，连接ae，ac，如图1
求证：ae=cd，ae⊥cd．
证明：延长cd交ae于k在△aeb和△cdb中。
在△aeb和△cdb中。
△aeb≌△cdb（sas）
ae=cd ∠eab=∠dcb
∠dcb+∠cdb=90°∠adk=∠cdb
∠adk+∠dak=90°
∠akd=90°
ae⊥cd2）类比：若将（1）中的rt△dbe绕点逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问（1）中线段ae，cd间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．
5、如图（*）四边形abcd是正方形，点e是边bc的中点，∠aef=90°，且ef交正方形外角平分线cf于点f．请你认真阅读下面关于这个图的**片段，完成所提出的问题．
1）**1：小强看到图（*）后，很快发现ae=ef，这需要证明ae和ef所在的两个三角形全等，但△abe和△ecf显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点e是边bc的中点，因此可以选取ab的中点m，连接em后尝试着去证△aem≌efc就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图1，取ab的中点m，连接em．
∠aef=90°
∠fec+∠aeb=90°
又∵∠eam+∠aeb=90°
∠eam=∠fec
点e，m分别为正方形的边bc和ab的中点。
am=ec又可知△bme是等腰直角三角形。
∠ame=135°
又∵cf是正方形外角的平分线。
∠ecf=135°
△aem≌△efc（asa）
ae=ef2）**2：小强继续探索，如图2，若把条件。
点e是边bc的中点”改为“点e是边bc上的任意一点”，其余条件不变，发现ae=ef仍然成立，请你证明这一结论．
3）**3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点e是边bc的中点”改为“点e是边bc延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论ae=ef是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．
6、在图1中，若等边三角形cde与等边三角形abc均在直线bc的同一侧，1）试说明be=ad的理由．
2）若将△cde绕点c逆时针旋转一个角度（小于60°），第（1）题中be=ad的关系还存在吗？简要说明理由．
7、如图1，四边形abcd、defg都是正方形，连接ae、cg．
1）求证：ae=cg；
2）观察图形，猜想ae与cg之间的位置关系，并证明你的猜想；
3）将正方形abcd，绕点d逆时针旋转一定的角度（小于90度），如图2，请猜想ae与cg之间的关系，并证明你的猜想．
8、如图，在等边△abc的顶点a, c处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由a向b和由c向a爬行，经过 t 分钟后，它们分别爬行到d,e处， 请问dc与be相等吗？
9、用两个全等的正方形abcd和cdfe拼成一个矩形abef，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边af的中点d重合，且将直角三角尺绕点d按逆时针方向旋转．
1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形abef的两边be，ef相交于点g，h时，如图甲，通过观察或测量bg与eh的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；
2）当直角三角尺的两直角边分别与be的延长线，ef的延长线相交于点g，h时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
10、七年级二班数学小组在活动时，梁老师画出了下列四个图形，已知ab∥cd，梁老师让同学们分别**这四个图形中∠apc和∠pab、∠pcd的关系，并让他们用等式表示出这三个角之间的关系。小明很快就得出了（1）的结论，并证明了这个等式。如下：
解：（1）结论：∠apc+∠pab+∠pcd=360°；
过点p作pe∥ab，则pe∥cd
pe∥ab∠pab+∠1=180°
又∵pe∥cd
∠2+∠pcd=180°
∠pab+∠1+∠2+∠pcd=360°
即∠apc+∠pab+∠pcd=360°
听了小明的讲解，其他几位同学很快类比小明的做法，把其他三幅图的问题解决了。
现在请你分别写出图（2）图（3）图（4）中∠apc和∠pab、∠pcd的关系，并选择其中一个说明理由。
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