第四章几何图形初步。
4.1几何图形。
各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质外，还具有形状（如方的、圆的等）、大小（如长度、面积、体积等）和位置关系（如相交、垂直、平行等），物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容。
长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形（geometric figure）。几何图形是数学研究的主要对象之一。
有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形 （solid figure）。棱柱、棱锥也是常见的立体图形。
有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形（plane figure）。
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图（developing drawing）。
4.1.2点、线、面、体。
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体也简称体（solid）。
包围着体的是面（surface）。面有平的面和曲的面两种。平静的水面给我们以平面的形象，而一些建筑物的屋顶则给我们以曲面的形象。
夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线（line）的形象。面和面相交的地方形成线。长方体6个面相交成的12条棱（线）是直的，圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲的。
天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点（point）的形象。线和线相交的地方是点。
笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，就形成线，节日的焰火也可以看成由点运动形成的，这可以说点动成面。长方形硬纸片绕它的一边旋转，形成一个圆柱体，这可以说面动成体。
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。电视屏幕上的画面、大型团体操的背景图案也可以看作由点组成。
点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界。
几何学的起源：
我们生活的世界处处存在着关于数量和空间的问题，数学中以空间形式（简称形）为研究对象的分支，叫做几何学，它有着悠久的历史。（在书本124页见详情！）
4.2直线、射线、线段。
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
简单说成：两点确定一条直线。
当两条不同的直线有一个公共点时。我们就称这两条直线相交（intersection），这个公共点叫做它们的交点（point of intersection）。
射线和线段都是直线的一部分！
画一条线段等于已知线段a，可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段。在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。
如图4.2-11（1），点m把线段ab分成相等的两条线段am与mb，点m叫做线段ab的中点（midpoint）。（在书本128页见详情图！）
小知识：在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点就是线段的中点。类似地，还有线段的三等分点、四等分点等（图4.
2-11（2）（3））。在书本128页见详情图！）
关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短。
简单说成：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离（distance）。
什么是“两点的距离”？
答：它是两点的距离的定义（definition）。
4.3角。角（angle）也是一种基本的几何图形，钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，三角尺两条相交的边线（图4.
3-1），都给我们以角的形象。（在书本132页见详情图！）
我们知道，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。（在书本132页见详情角图！）
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位。把一个周角360等分，每一份就是1度（degree）的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
小知识：角度制起源于四大文明古国之一的古代巴比伦。为什么选择60这个数作为进制的基数呢？
据说是由于60这个数是许多常用的数2,3,4,5,6,10,12,15,20,30的倍数，60＝12×5,12是一年中的月数，5是一只手的手指数，所以古代巴比伦人认为60是一个特别而又重要的数。
角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的。
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。此外，还有其他度量角的单位制。例如，我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等。
除量角器外，工程测量中，还常用经纬仪来测量角的大小。
借助三角尺，我们可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角，借助量角器，可以画出任何给定度数（如36°，108°）的角。
4.3.2角的比较与运算。
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线（angular bisector）。类似地，还有角的三等分线等（图4.3-10）（在书本135页见详情角图！
）（在书本136页看看例1和例2！）
4.3.3余角和补角。
在一副三角尺中，每块都有一个角是90°，而其他两个角的和是90°（30°+60°＝90°，45°+45°＝90°）。一般地，如图4.3-13，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角为余角（complementary angle），即其中每一个角是另一个角的余角。
（在书本137页见详情角图！）
小知识：两个角互为余角简称为两个角互余，两个角互为补角简称为两个角互补。
类似地，如图4.3-14，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角（supplementary），即其中一个角是另一个角的补角。（在书本137页见详情角图！）
⑴关于补角的一个性质：
同角（等角）的补角相等。
⑵对于余角也有类似的性质：
同角（等角）的余角相等。
小知识：有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，如“北偏东30°”“南偏东25°”。表示方向的角在航行、测绘等工作中经常用到！
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