优辰教育2024年七年级数学讲义。
专题：整式及其运算练习题。
一、幂的运算。
一）幂的乘方。
1 计算下列各题：
1)(－23)22)(－x5)4= ；
3)[(a)3]44)(an＋1)2= ；
5)[(m－n)3]5= ；6)(－x3)3·(x3)4= .
2 已知am＝2，an＝4，ak＝3.
1)am＋n
2)求a3m＋2n＋2k的值．
3.比较355，444，533的大小．
4. 已知162×43×26=22x-1，(102)y=1012，求2x+y的值．
5.已知an=3，am=12，ap=6试问m,n,p之间的关系，并说明理由。
二）积的乘方。1 计算：
2.计算：
3.计算：（-4）2013×0.252013+（-0.125）2013×82014.
三）同底数幂的除法。
1 计算：1)m22÷m112)(－m)8÷(－m)3
3)(xy)7÷(xy)44)(x－y)7÷(y－x)6
5)(－a)7÷a3·(－a)26)(a－b)2(b－a)2n÷(a－b)2n－1
2 计算下列各题：
3)x3÷x4·x54)3－2÷34
3 用小数或分数分别表示下列各数：
4.已知am＝3，an＝5.求：(1)am－n的值；(2)a3m－2n的值．
5.若(a－3)a＋2＝1，求a的值．
6. 若（|x|-1)0=1,求x的值。 2
7. 若3x-2y+2=0,求8x÷4y的值。
8. 1世纪，纳米技术被广泛应用，纳米是长度计算单位，1纳米=10-9米．vcd光碟的两面有用激光刻成的小凹坑，已知小凹坑的宽度只有0.4微米（1微米=10-6米），试将小凹坑的宽度用纳米作为计算单位表示出来（结果用科学记数法表示）．
二、整式的乘除。
一）单项式乘法与幂运算的混合运算。
1.计算：1)(－8ab2)·(ab)2·3abc；
2)－2(a2bc)2·a·(bc)3－(－abc)3·(－abc)2.
2.小华大学毕业以后，自主创业，办了一水产养殖池．经过几年的奋斗，养殖池的生意越来越红火．小华准备扩大养殖规模，把原来边长为a米的正方体养殖池进行改造，建成长为原来2倍，宽为原来倍，高仍不变的长方体养殖池．请问建成后这个养殖池的体积比原来的大多少？
3.已知单项式9am+1bn+1与-2a2m-1b2n-1的积与5a3b6是同类项，求nm的值．
二）单项式与多项式的乘法计算。
1.计算：(1)－3x2(2x3＋x2－12) (0.2ab)；
3)x(x－1)＋2x(x＋1)－3x(2x－5)．
2.化简求值：8x2－5x(4y－x)＋4x·，其中x＝－1，y＝3.
3.某同学在计算一个多项式乘以-3x2时，因抄错运算符号，算成了加上-3x2，得到的结果是x2-4x+1，那么正确的计算结果是多少？
三）多项式乘多项式的计算。
1.计算：1)(2n＋4)(n－22)(2m－3n)(3m－5n)；
(3)(2x＋3y)(2x－3y)； 4)(x＋2y)2.
2.先化简，再求值：(x－3)(2x2－5x＋4)－2x(x2－8x＋1)，其中x＝3.
3．（1）计算：（x+1）（x+2x-1）（x-2**：z,xx,x-1）（x+2x+1）（x-2
2）你发现（1）小题有何特征，会用公式表示出来吗？
3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）=x2+mx+12，则m的可能取值有多少个？
四）平方差公式的简单应用。
1.利用平方差公式计算：
1)(p＋q)(p－q)； 2)(2x＋1)(2x－1)； 3) ；
4)(xy－5)(－xy－55)－(a＋7)(－a－7)．
2.化简：1)3(2a＋1)(－2a＋1)－(a－3)(3＋a)； 2)a4－(1－a)(1＋a)(1＋a2)(1＋a)．
3.用平方差公式进行简便运算。
4.用乘法公式计算：
（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1
x+y）（x2+y2）（x-y）（x4+y4
5.观察下列各式：
x-1）（x+1）=x2-1；
x-1）（x2+x+1）=x3-1；
x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；
x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1.
①你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x2+x+1
根据①求出1+2+22+…+262+263的结果。
6.与平方差公式有关的图形问题。
已知把正方形按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式．按图1所示划分，计算面积，便得到一个公式：(x+y)2=x2+2xy+y2．
若按图2那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空．
1）图2中大正方形的面积为。
2）图2中两个梯形的面积分别为。
3）根据（1）和（2），你得到的一个数学公式为。
7.平方差公式的逆用。
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”.
1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k是非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？
五）完全平方公式。
1. 计算：(1)(3a＋2b)22)(mn－n2)2.
2. 运用完全平方公式进行计算。
计算：.3.全平方公式有关的规律**题。
观察下面各式规律：
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2…写出第n个式子，并证明你的结论．
4.全平方公式有关的图形问题。
图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
1）图2中的阴影部分的面积为___
2）观察图2，三个代数式（m+n)2，（m-n)2，mn之间的等量关系是___若x+y=-6，xy=2.75，则x-y
3）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢。
4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2.
5.利用完全平方公式通过配方变形解题。
阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2=（a+b）2-2ab或a2+b2=（a-b）2+2ab．从而使某些问题得到解决．例：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值．
解：a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×3=19．
问题：（1）已知a+a-1=6，则a2+a-2
2）已知a-b=2，ab=3，求a4+b4的值．
六）整式的除法。
1.单项式除以单项式的计算。
**：学科网zxxk](1)24a3b2÷3ab22) (6xy2) 2÷3xy；
3) －27x8÷÷(x)2； (4) (3x－2y)3÷(2y－3x)2.
2.单项式除法的综合运算。
1)(－3x3y2)3÷(3x2y3)22)xm＋n·(3xmyn)÷(2xmyn)．
3.多项式除以单项式。
(1) (28a3－14a2＋7a)÷7a;
(2) (36x4y3－24x3y2＋3x2y2)÷(6x2y)．
4.整式的混合运算。
1)[(3xy)2·x3－2x2·(3xy2)3·y]÷9x4y2；
2)÷8x.
整式的混合运算的步骤：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的运算．
5.与整式除法相关的规律**题。
第（1）题：观察下列单项式：x，-2x2，4x3，-8x4，16x5，…
1）计算这里任意一个单项式与它前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写出第n个单项式；
2）根据你发现的规律写出第10个单项式．
第（2题）：观察下列各式：
x2-1）÷（x-1）=x+1；
x3-1）÷（x-1）=x2+x+1；
x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1；
七年级数学讲义 七
例1 已知4 2a 2a 1 29，且2a b 8，求ab的值 例2 已知xn 2，yn 3，求 x2y 2n的值 例3 计算 1 a2 5 a a112 x6 2 x10 x2 2 x 3 4 例4 已知am 2，an 5，求a3m 2n的值 例5 已知，求的值。例6 计算 例7 计算 1 a2b...
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金鹰第十一届夏令营七年级数学讲义 2 姓名得分。金鹰精练。一 填空 7 3 1 如图，已知cb 4，db 7，d是ac的中点，则ac 2 时钟的时针和分针在2时30分时，所成的角度是 度。3 如图1，cb ab，cba与 cbd的度数比是5 1，则 dba 度，cbd 的补角是 度。图4图5图6 图...
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a 5，4 b 5，4 c 5，4 d 5，4 3如图2的围棋盘放在平面直角坐标系内，如果黑棋。的坐标表示为 1，2 那么白棋的坐标是。请问黑棋的坐标还可以表示为那么此时白棋。的坐标是。4在图所示的平面直角坐标系中表示下面各点 a 0，3 b 1，3 c 3，5 d 3，5 e 3，5 f 5，7 ...