整式训练稿。
1、 和3x3y|n|+3是同类项，求m2+n2的值。
2、已知：x+y=10，x3+y3=400，求x2+y2
3、化简：
4、计算（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）×8+1
5、已知的整数部分为x，小数部分为y，求xy=值。
6、已知：x= ，y= ，求x2+y2的值。
7、多项式x3-27与x-3的商式为多少？
9、给出下面四个多项式：①3x2-xy-2y2；②x2+x-y2-y；③x7-xy6；④x3+y3，其中以代数式x-y为因式的多项式的个数是哪些？
10、若 ，求的值。
11、已知a，b，c，d都是整数，求证：（a2+b2）（c2+d2）是两个完全平方数的和．
12、已知（2x+3）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，求：
1）a0+a1+a2+a3+a4；（2）a0-a1+a2-a3+a4（3）a0+a2+a4
13、在如图所示的小方格中各填入一个整数，使任意三个相邻格子中的数的和等于5．求x，y，z和各空格应填的整数。
14、求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。
15、求证：2222＋3111能被7整除。
16、由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律。
17、由平方差、立方和（差）公式引伸的公式。
a±b)(a2ab+b2)=a3±b3
a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4
a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5
a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 ……
在正整数指数的条件下，可归纳：设n为正整数。
a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n
a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n) =a2n+1+b2n+1
类似地：a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+…＋abn－2+bn－1)=an－bn
整式训练稿。
一、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
1、 和3x3y|n|+3是同类项，则m2+n2的值是 5．
考点：同类项．
专题：计算题．
分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程|m|+2=3，|n|+3=5，求出|n|，|m|的值，再代入代数式计算即可．
解答：解：由同类项的定义，得：|m|+2=3，|n|+3=5，解得：|m|=1，|n|=2，则m2+n2=1+4=5．
故答案为；5．
点评：同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．
2、已知：x+y=10，x3+y3=400，则x2+y2= 60
考点：立方公式；完全平方公式．
专题：计算题．
分析：根据立方公式x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=400，可以求出（x2+y2-xy）的值，然后把（x+y）=10进行平方，根据两式的关系，求出x2+y2的值．
解答：解：∵x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）
10（x2+y2-xy）=400
x2+y2-xy=40…①
x+y=10 平方，x2+2xy+y2=100…②
×2+②得：2x2+2y2+x2+y2=80+100，3（x2+y2）=180，x2+y2=60，故答案为60．
点评：本题主要考查立方根的知识点，解答本题的突破口是根据题干条件把x3+y3转化成x2+y2的形式，此题难度不是很大．
3、化简： =
考点：二次根式的化简求值．
专题：计算题．
分析：将被开方数化为完全平方公式，再开平方，注意开平方的结果为非负数．
解答：解：原式= +
故本题答案为2 ．
点评：本题考查了二次根式的化简方法．可以将被开方数化为完全平方式，也可以将算式先平方，再开方．
考点：平方差公式．
专题：计算题．
分析：将分子和分母同时乘以（32-1），然后根据平方差公式进行计算．
解答：解：（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）×8+1= ×32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）×8+1
3128，故答案为：3128．
点评：此题主要考查平方差公式的性质及其应用，是一道好题，计算时要仔细．
5、已知的整数部分为x，小数部分为y，则xy=
考点：二次根式的乘除法．
专题：计算题．
分析：根据- ＜由此可得x的值，- 减去整数部分可得出小数部分，从而将x和y代入可得出答案．
解答：解故可得- 的整数部分为-3，小数部分为：- 3）=3- =x，xy=（3- ）3）=3 -9．
故答案为：3 -9．
点评：本题考查了二次根式的乘法运算及估算无理数大小的知识，有一定难度，注意估算无理数大小时夹逼法的运用．
6、已知：x= ，y= ，那么x2+y2的值为 10．
考点：二次根式的化简求值；分母有理化．
专题：计算题．
分析：将x、y的值化简，分别求出x+y、xy的值，根据x2+y2=（x+y）2-2xy求解．
解答：解：∵x= =y= =x+y=2 ，xy=1，x2+y2=（x+y）2-2xy=（2 ）2-2=10．
故本题答案为10．
点评：本题考查了二次根式的化简求值，关键是利用等式x2+y2=（x+y）2-2xy求解．
二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
7、多项式x3-27与x-3的商式为（ ）
考点：整式的除法．
专题：计算题．
分析：根据立方差公式即可得出商式．
解答：解：（x3-27）÷（x-3）=x2+3x+9．
故选d．点评：本题考查了立方差公式．立方差公式：两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差，即a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．
8、下列运算中正确的是（ ）
考点：负整数指数幂；相反数；同底数幂的乘法；分式的加减法．
专题：计算题．
分析：根据同底数幂的乘法法则，相反数的定义，分式的加法法则，负整数指数幂的定义作答．
解答：解：a、a2a3=a5，故选项错误；
b、-（5）=5，故选项错误；
c、 +故选项错误；
d、正确．故选d．
点评：本题主要考查了同底数幂的乘法法则，相反数的定义，分式的加法法则，负整数指数幂的定义．要注意区分它们各自的特点，以避免出错．
9、给出下面四个多项式：①3x2-xy-2y2；②x2+x-y2-y；③x7-xy6；④x3+y3，其中以代数式x-y为因式的多项式的个数是（ ）
考点：提公因式法与公式法的综合运用；公因式．
专题：因式分解．
分析：先将四个多项式分解因式，根据分解的结果，找到有因式x-y的多项式即可作出判断．
解答：解：：①3x2-xy-2y2=（3x+2y）（x-y）；
x2+x-y2-y=（x+y）（x-y）+（x-y）=（x+y+1）（x-y）；
x7-xy6=x（x6-y6）=x（x3+y3）（x3-y3）=x（x+y）（x2-xy+y2） （x-y）（x2+xy+y2）；
x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）．
故有因式x-y的多项式有3个．
故选c．点评：本题主要考查公因式的确定，先因式分解，再做判断，在解题时，仅看多项式的表面形式，不能做出判断．
10、若 ， 的值是（ ）
考点：完全平方公式；代数式求值．
专题：计算题．
分析：根据 ，求出m2+ 的值，然后求的平方的值，再开方后即可得出答案．
解答：解：根据 ，两边同时平方得：m2+ =5-2=3，m2+ -2=3-1，故 =±1，故选c．
点评：本题考查了完全平方公式及代数式求值，属于基础题，关键是掌握完全平方公式的正确灵活运用．
三、解答题（共3小题，满分54分）
11、已知a，b，c，d都是整数，求证：（a2+b2）（c2+d2）是两个完全平方数的和．
考点：完全平方数．
专题：证明题．
分析：此题可通过将（a2+b2）（c2+d2）展开后再配方即可得到两个完全平方数的和．
解答：证明：（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，（a2c2+2abcd+b2d2）+（a2d2-2abcd+b2c2），（ac+bd）2+（bc-ad）2；
（a2+b2）（c2+d2）是两个完全平方数的和．
点评：本题考查了完全平方数的应用，关键是通过配方得到完全平方数，同学们应重点掌握．
12、已知（2x+3）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，求：（1）a0+a1+a2+a3+a4；
2）a0-a1+a2-a3+a4
3）a0+a2+a4
考点：代数式求值．
分析：由于本题x未知，故可随意赋值，以便求出所求的代数式的解，（1）可直接令x=1，便得代数式的值，（2）同理可令x=-1，便得代数式的值．（3）将（1）（2）所得代数式相加即可得出a0+a2+a4的值．
解答：解：（1）∵（2x+3）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，令x=1，得625=a0+a1+a2+a3+a4，即得a0+a1+a2+a3+a4=625；
2）∵（2x+3）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，令x=-1，得1=a0-a1+a2-a3+a4，即得a0-a1+a2-a3+a4=1；
3）∵a0+a1+a2+a3+a4+a0-a1+a2-a3+a4=2（a0+a2+a4），2（a0+a2+a4）=625+1=626，两边同时除以2得：a0+a2+a4=313．
点评：本题主要考查代数式求值问题，可利用已知中恒等式，进行赋值，灵活应用，便可得出所求结果，要认真掌握．
七年级数学竞赛专题训练 七
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