例谈平行线中的数学思想。
一、转化思想。
有些数学题目，初看觉得无从下手，但若能转化解题思路，问题便能得到顺利解决。
例1.如图所示，当∠1＝∠5时，试说明直线是否平行？为什么？
解：平行。理由如下：
方法一：转化为同位角判断。
因为∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝∠5所以∠3＝∠5（等量代换）
所以∥（同位角相等，两直线平行）
方法二：转化为内错角判断。
因为∠1＝∠3，∠4＝∠5（对顶角相等）
又因为∠1＝∠5，所以∠3＝∠4（等量代换），所以∥（内错角相等，两直线平行）
方法三：转化为同旁内角判断。
因为∠1＋∠6＝180°（邻补角定义），∠1＝∠5，所以∠5＋∠6＝180°
又因为∠4＝∠5（对顶角相等），所以∠4＋∠6＝180°
所以∥（同旁内角相等，两直线平行）
评注：利用转化思想将未知化归为已知问题是一种基本的解题思想，要注意掌握这种思想。
二、逆反思想。
对于一些直接从正面不好说明的问题，我们可以考虑从结论的反面入手进行说明。
例2.如图已知直线a,b,c，若a//b,且c与b交与点p,试说明c与a也一定相交。
解：假设c与a不相交，即c//a,又a//b,根据平行公理的推论，得出c//b，这与已知条件c与b交与点p矛盾。
因此假设不成立。故c与a一定相交。
评注：利用逆反思想从结论的反面入手解决已知问题也不失是一种有效解题思想，要注意掌握这种思想。
三、构造思想。
当遇到的几何问题直接解题比较困难时，可通过对图形添加辅助线，创造解题条件，则问题可以顺利解决。
例3.如图所示，已知∠bed＝∠b＋∠d，试说明ab与cd的位置关系。
分析：由已知条件无法判断ab与cd的位置关系，需构造应用平行线判定方法的条件。因此，过e作∠bef＝∠b，则ab∥ef，由已知可得∠fed＝∠d，则cd∥ef，由平行公理可得：
ab∥cd。
解：ab∥cd，理由如下：
过e作∠bef＝∠b
ab∥ef（内错角相等，两直线平行）
∠bed＝∠bef＋∠fed＝∠b＋∠d
∠fed＝∠d
cd∥ef（内错角相等，两直线平行）
ab∥cd（平行于同一条直线的两条直线平行）
评注：⑴当题目现有的条件不能解决问题时，可考虑作辅助线；⑵作角是一种常见的辅助线，还可以作平行线。
聚焦平行线开放题。
开放题是培养发散思维的一种题型，答案一般不唯一，解决探索性的问题。不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，加强对知识的理解和掌握，现将平行线的开放性题举例分析如下，供同学们学习时参考。
1.条件开放题。
例1.（2009云南昆明市）如图，b、a、e三点在同一直线上，请你添加一个条件，使ad∥bc．你所添加的条件是不允许添加任何辅助线)．
2.结论开放题。
例2.如图，ab//cd,gm,hn分别为和的平分线。
1）试判断直线gm和直线hn的位置关系。
2）如果gm是的平分线，其他的条件不变，（1）中的结论还成立吗？
3）如果gm是的平分线，其他的条件不变，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，您能得到什么结论？
例3.如图，己知两组直线分别互相平行。
1）若，求的度数。
2）题（1）中隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试用文字表上出来。
3）利图（2）中的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的大小。
2.条件和结论双开放题。
例4. 如图，给出一下三个条件：①②ab//cd③bc//de,请您以其中的两项为已知条件，以剩下的一项为结论，编拟成一道由由已知可得到结论的题目，并说明理由。
例5.取一副三角板按图（1）拼接，固定三角板adc，将三角板abc绕点a依顺时针方向旋转一个大小为的角得到△如图，试问：
1）当为多少度时，能使图(2)中的ab//dc。
2）当旋转到图（3）位置时，此时又为多少度？
巧用平移妙求面积。
求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移。通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解。
例1 如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形。已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米。问种花的面积是多少平方米？
例2 如图2－1，某小区规划在一个长为ad=40米，宽为ab=26米的长方形场地abcd上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与ab平行，另一条与ad平行，其余部分种草。问种草区域的面积是多少？
例3 如图3－1所示，在一块长为24米，宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路，你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗？
练习。1、如图，ab∥de，试问∠b、∠e、∠bce有什么关系．
解：∠b＋∠e＝∠bce
过点c作cf∥ab，又∵ab∥de，ab∥cf，∠e
∠b＋∠e＝∠1＋∠2
即∠b＋∠e＝∠bce．
2、已知：如图，ad⊥bc于d，eg⊥bc于g，∠e =∠3。试说明：ad平分∠bac
3、如图∠bae+∠aed=180°，am平分∠bae，en平分∠aec，试猜想，∠m与∠n之间的大小关系，并说明理由。
4、如图，（1）已知ab∥cd，ef∥mn，∠1＝115°，求∠2和∠4的度数；
2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试着用文字表述出来；
3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一角是另一个角的两倍，求这两个角的大小。
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