用数学思想解三角形题。
数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法。这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用。
一、 分类讨论思想。
由于题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面(所有不同情况)才能把握问题的实质。此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性。
例1 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形各边的长。
分析：要注意等腰三角形有两边相等， 一腰上的中线把它的腰分成的两段相等。由于问题中未指明哪一段为15cm，哪一段为6cm，故需分类讨论。
解：设腰长为xcm，底边为ycm，即ab=x，则ad=cd=x，bc=y
若x+x=6时，则y+x=15.
由x+x=6得x=4.把x=4代入y+x=15得y=13.
因为4+4<13，所以不能构成三角形。
若x+x=15时，则y+x=6.
由x+x=15得x=10.把x=10代入y+x=15得y=1.
10+1>10符合题意， 所以三角形三边分别为10cm、10cm、1cm.
例2 已知非直角三角形abc中，∠a=45°，高bd和ce所在直线交于h，求∠bhc的度数。
分析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同。高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论。
解：⑴当△abc为锐角三角形时(图2)
bd、ce是△abc的高， ∠a=45°， adb=∠beh=90°.
在△abd中， ∠abd=180°-90°-45°=45°.
∠bhc是△bhe的外角， ∴bhc=90°+45°=135°.
当△abc为钝角三角形时(图3)
h是△abc两条高所在直线的交点 ∠a=45°，∠abd=180°-90°-45°=45°.
在rt△beh中， ∠bhc=180°-90°-45°=45°.
∠bhc的度数是135°或45°.
注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解。
二、 整体思想。
研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的。
例3 如图4，求∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g的度数。
分析：观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和。
解：因为∠a +∠c+∠e=180°，又因为∠b+∠d+∠f+∠g=360°，所以∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g=540°.
剖析：例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的。因此，设法整体求值是解题的关键。
事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰。如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明。
三、 方程思想。
求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程。用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想。
例4 如图5，在△abc 中，∠b =∠c，∠1=∠2，∠bad=40°.求∠edc.
分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠edc的方程。
解：设∠edc=x.
因为∠1是△dec的外角，所以∠1=x+∠c.
又因为∠1=∠2，所以∠2=x+∠c.
又因为∠2是△abd的外角，所以∠adc=∠b+∠bad.
所以∠b+∠bad =∠2+x，即∠b+40°=∠c+2x.
因为∠b =∠c，所以2x=40°，解得x=20°.
剖析：方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解。事实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系。
四、 转化思想。
用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解。这种解题思想叫转化思想。
例5 如图6，求五角星各顶角之和。
分析：因为∠a、∠b、∠c、∠d、∠e较分散，本例中又不。
知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形。
来处理。根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．
解：因为∠1=∠c+∠e，∠2=∠b+∠d，又因为∠1+∠2+∠a=180°，所以∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=180°.
点拨：此题还可以连接cd求解。当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解。
五、 数形结合思想。
例6 如图7，在△abc中，已知ad是角平分线， ∠b=60°，∠c=45°，求∠adb和∠adc的度数。
分析：在△abd中，∠adb是一个内角，它等于180°-∠b-∠bad，故求出∠bad即可求出∠adb的度数，这由已知条件不难求得；同理可求出∠adc的度数。
解：在△abc中，∠b=60°， c=45°， b+∠c+∠bac=180°，∠bac=180°-∠b-∠c=180°-60°-45°=75°.
又∵ad是角平分线， ∴bad=∠dac=∠bac=37.5°.
在△abd中，adb=180°-∠b-∠bad=180°-60°-37.5°=82.5°.
同理∠adc=180°-∠c-∠dac=180°-45°-37.5°=97.5°.
点拨：几何与代数是患难兄弟，密不可分。在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算。否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措。
7.2.2 三角形的外角。
一、选择题：
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )毛。
a.直角三角形 b.锐角三角形 c.钝角三角形 d.无法确定。
2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )
a.30° b.60° c.90° d.120°
3.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( )
a.90° b.110° c.100° d.120°
4.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )
a.等腰直角三角形； b.一般的等腰三角形； c.等边三角形； d.等腰钝角三角形。
5.如图1所示，若∠a=32°,∠b=45°,∠c=38°,则∠dfe等于( )
a.120° b.115° c.110° d.105°
6.如图2所示，在△abc中，e,f分别在ab,ac上，则下列各式不能成立的是( )
a.∠boc=∠2+∠6+∠a; b.∠2=∠5-∠a; c.∠5=∠1+∠4; d.∠1=∠abc+∠4
7.三角形的三个外角中，最多有___个锐角。
8.如图3所示，∠1=__
9.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是___度。
10.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为___
11.如图所示，∠abc,∠acb的内角平分线交于点o,∠abc 的内角平分线与∠acb的外角平分线交于点d,∠abc与∠acb的相邻外角平分线交于点e,且∠a=60°, 则∠bocd=__e
12.如图所示，∠a=50°,∠b=40°,∠c=30°,则∠bdc
13.如图所示，在△abc中，∠a=70°,bo,co分别平分∠abc和∠acb,求∠boc的度数。
14.如图所示，在△abc中，d是bc边上一点，∠1=∠2,∠3=∠4,∠bac=63°, 求∠dac的度数。
15.如图所示，在△abc中，∠a=α,abc的内角平分线或外角平分线交于点p, 且∠p=β,试探求下列各图中α与β的关系，并选择一个加以说明。
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