第四章图形的认识。
4.1 图形基本概念。
本章小结。小结1 本章内容概览。
本章的主要内容是多姿多彩的图形，直线、射线、线段以及角等有关的概念及其性质．其课标要求是：
(1)理解线段、直线和射线的区别与联系，会比较线段的大小，并进行计算．
(2)理解角的概念，会比较角的大小，会进行角的度数的计算．
(3)了解互余、互补的概念，理解它们的性质．
小结2 本章重点、难点：
本章的重点是线段和角的概念及其相关的性质；难点是对平面图形的概念及其相关性质的理解．
小结3 本章学法点津
1．要通过直观感知，具体操作、确认等实践活动，区分图形，探索出图形的特征和性质，培养空间想象能力．
2．要注意多观察、多分析实物，勤动手操作、勤动脑联想，同时又要注意对图形语言的理解和符号语言的运用．
3．要淡化概念识记、不能机械地套用公式模式，达到“在做中学，在学中做”．
4．要注重“简单说理”推理能力的培养，养成言之有据的良好习惯．
知识网络结构图。
重点题型总结及应用。
题型一计算几何图形的数量
1．数直线条数。
例1 已知n(n≥2)个点p1，p2，p3，…，pn在同一平面上，且其中没有任何三点在同一直线上．设sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，s2=1，s3＝3，s4＝6，s6＝10，…，由此推断，sn＝ .
2．数线段条数。
例2 如图4—4—1所示，c、d为线段ab上的任意两点，那么图中共有多少条线段？
例3 小明在看书时发现这样一个问题：在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手呢？小明通过认真思考得出了答案．为了解决一般问题，小明设计了下列图表进行**：
请你根据上面图表归纳出参加人数与握手次数之间关系的一般结论．
3．数直线分平面的块数。
例4 豆腐是我们生活中的常见食品，常被分割成长方体或正方体的小块**．现请你用刀切豆腐，每次切三刀，能将豆腐切成多少块？
题型二两角互补、互余定义及其性质的应用。
例5 一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数．
例6 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是( )
a．30° b．60° c．90° d．150°
例7 根据补角的定义和余角的定义可知，10°的角的补角是170°，余角是80°；15°的角的补角是165°，余角是75°；32°的角的补角是148°，余角是58°．…观察以上各组数据，你能得出怎样的结论？请用任意角α代替题中的°的角来说明你的结论．
题型三角的有关运算。
例8 如图4—4—3所示，ab和cd都是直线，∠aoe＝90°，∠3°=∠fod，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度数．
例9 如图4—4—4所示，ob、oc是∠aod内任意两条射线，om平分∠aob，on平分∠cod，若∠mon＝α，boc=β，用α、β表示∠aod．
例10 (1)用度、分、秒表示54．12°．
(2)32°44′24″等于多少度？
(3)计算：133°22′43″÷3．
方法总结。角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．角度制的单位是 60进制的，和计量时间的时、分、秒一样．加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数．
题型四钟表的时针与分针夹角问题。
例11 15：25时钟面上时针和分针所构成的角是度．
题型五图形的转化。
例12 下列图形中不是正方体的平面展开图的是( )
例13 如图4—4—6所示，将标号为a、b、c、d的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为p、q、m、n的四**形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪**形”的对应关系填空：a与对应；b与对应；c与对应；d与对应．
题型六方位角。
例14 如图4—4—7所示，我海军的两艘**(分别在a、b两处)同时发现了一艘敌舰，其中a舰发现它在北偏东15°的方向上，b舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母c表示)．
思想方法归纳
1．分类讨论思想。
分类讨论，就是对问题所给对象的条件、结论、图形等不能进行统一研究时，就需要将研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．注意分类时要做到按同一标准且不重不漏．
例1 已知线段ab＝8cm，在直线ab上画线段bc，使它等于3cm，求线段ac的长．
例2 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是( )
a．1或3 b．3 c．2 d．1
2．数形结合思想。
数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，线段、直线、角的重要性质也都是通过数形结合的思想体现的．
例3 如图4—4—11所示放置的三角板，把三角板较长的直角边从水平状态开始，在平面上沿着直线bc滚动一周，求b点转动的角度．
3．转化思想。
解决一个问题，往往是由未知向已知转化，由陌生向熟悉转化，由复杂向简单转化，转化思想贯穿整个数学学习的始终．
例4 将下列选项中的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到如图4—4—13所示立体图形的是( )
考点1 线段。
考点突破：线段问题在中考题中一般难度不大，解题时要结合图形，认真分析，问题便会迎刃而解．
例1 （2011广东佛山，12，3分）已知线段ab=6，若c为ab中点，则ac= ．
2011广西崇左，5，2分）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是 ．
如图4—4—14所示，点a、 b、c是直线l上的三个点，图中共有线段的条数是( )
a．1 b．2 c．3
例2 （2011清远，6，3分）已知∠α＝35°，则∠α的余角是（ ）
a.35b.55c.65d.145°
2011南通）已知∠α=20°，则∠α的余角等于 70° ．
2011福建福州，5，4分）下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是（ ）
a． bc． d．
例3 如果∠α＝60°，那么∠α的余角的度数是( )
a．30° b．60° c．90° d．120°
30°角的补角是( )
考点3 钟表上的角度问题。
考点突破：此类题是近几年中考中的热点问题，考查形式为选择题或填空题．解决此类问题需明确：在钟表上，1分钟分针走6°，1小时时针走30°．
例4 从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是( )
a．30° b．60° c．90° d．120°
考点4 从不同方向看立体图形。
考点突破：从不同方向看立体图形是中考的热点问题，几乎每套中考题中都会出现，解决问题时应发挥空间想象能力，把立体图形转化为平面图形．
例5如图4—4—15所示四个几何体中，从上面看得到的平面图形是圆的几何体共有( )
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
例6如图4—4—16所示的几何体是由7个大小相同的小正方体组成的，该几何体从上面看得到的平面图形为( )
综合验收评估测试题。
一、选择题。
1. 下列说法正确的是( )
a．平角是一条直线。
b．周角是一条射线。
c．用2倍的放大镜看1 cm的线段，这条线段变成了2 cm
d．用2倍的放大镜看30°的角，这个角变成了60°
2．下列说法正确的是( )
a．直线ab与直线ba不是同一条直线。
b．线段ab与线段ba不是同一条线段。
c．射线oa与射线ao不是同一条射线。
d．射线oa与射线ao是同一条射线。
3. 如图4—4—17所示，ab＝cd，则ac与bd的大小关系是( )
a．ac＞bd b．ac＝bd c．ac＜bd d．不能确定。
4. 如果线段ab＝6 cm，bc=5cm，那么a、c两点间的距离是( )
a．1 cm b．5．5 cm c．11 cm d．11 cm或1 cm
5. 若∠α的补角是42°，∠的余角是52°，则∠α和∠β的大小关系是( )
abcd．不能确定。
6. 如图4—4—18所示，∠1＝15°，∠aoc＝90°，b、o、d三点在一条直线上，则∠3等于( )
a．75° b．105° c．15° d．165°
7. 一个角和它的补角的度数比为1∶8，则这个角的余角为( )
a．10° b．20° c．70° d．80°
8. 如图4—4—19所示，已知∠aoc＝∠bod=∠78°，∠boc＝ 35°，则∠aod等于( )
a．113° b．121° c．156° d．86°
二、填空题。
9. 29°30′= 度，18．25°＝ 度分秒．
七年级数学图形的认识初步
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