学科教师辅导讲义。
教学内容 知识回顾。
在小学，我们认识了自然数和分数，但日常生活中，在与数打交道时，经常会遇见零上9℃与零下15℃，收入1万元与支出3千元，上升30米与下降23米，盈利300元与亏损50元等相反意义的量，我们要如何区别而又形象地表示这些数呢？
我们认识了正负数和0，他们都属于有理数，你知道什么是有理数吗？有理数有哪些意义呢？当负数加入数的大家庭后，又该如何比较两个数的大小呢？
新课知识。知识点一：正数和负数。
1.正数：像3,1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数；
负数：像-3.-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前面加上符号“-”负）的数叫做负数。
2.数0的意义。数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。（例1）
判断一个数是正数还是负数的方法：可以根据定义来判断一个数的正数还是负数，还可以和0去比较；在正数前面加上“-”号就是负数。
知识点二：用正数和负数表示具有相反意义的量。
1.相反意义的量包含两层含义：
具有相反意义；具有数量；
2.常见的表示具有相反意义的名词：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、上升和下降等；
3.用正、负数表示相反意义的量：为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示；那么与它相反意义的量就可以用负数表示。（例2、例3）
知识点三：“0”的意义。
在小学，0表示“没有”或者“空”，引入负数以后，0表示正数与负数的分界。例如在温度计上，0℃不是表示没有温度，而是表示冰点，它是一个确定的温度。（例4）
知识点四：有理数的有关概念（重点）
有理数：整数和分数统称为有理数。
1.整数：正整数、0、负整数统称为整数，如-3，-2,0,1,2等。
2.分数：正分数、负分数统称为分数，如，0.18，-1.35，等。（例5）
注意：有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率。
不是有理数。
知识点五：有理数的分类（重点）
1.按定义对有理数进行分类：有理数。
2.按性质对有理数进行分类：有理数 （例6）
知识点六：数轴（重点）
1.定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
1）直线上任取一点表示数0，这个点叫做原点；
2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1,2,3，….如图。
注意：（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸。
2）数轴具有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。
2.画法：（1）一画：画一条直线（一般画成水平或者竖直的直线）；
2）二定：在直线上任取一点为原点，并用这点表示0（再原点下方或左边标上“0”）；
3）三选：确定正方向（一般规定向右或向上为正方向），用箭头表示出来；
4）四标：选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1,2,3，….从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1,-2,-3，….例7）
知识点七：数轴上的点与有理数的关系。
所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数。具体如下：
1.正有理数可以用数轴上原点右边（或上边）的点表示。
2.负有理数可以用数轴上原点左边（或下边）的点表示。
3.0用原点表示。
4.原点左边（或下边）的点表示负数，右边（或上边）的点表示正数。（例8)
把有理数表示在数轴上的步骤：（1）确定所找点与原点的位置关系（左负右正原点零）；
2）确定具体位置，即去掉符号后的数值为这点到原点的距离。
知识点八：相反数的概念及其表示（重点）
1.几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
2.代数意义：像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫为互为相反数。
3.相反数的表示：一般地，a和-a互为相反数。特别地，0的相反数是0，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可是0.
求一个数的相反数的方法：只改变它前面的符号，其他的都不改变。（例9）
知识点九：多重符号的化简（重点、难点）
多重符号化简的两种方法：（1）采用同号得正，异号得负逐步由内向外化简。
2）把所有的“+”号去掉，由“-”号的个数决定。如果“-”号的个数是奇数，则结果为“-”如果“-”号的个数是偶数，则结果为“+”例10）
知识点十：绝对值的概念（重点）
1.绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，读作“a的绝对值”.
如下图，-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，即=2；2 到原点的距离是2 ，所以2 绝对值是2 ，即；0与原点重合，所以0的绝对值是0的本身，即。
注：（1）数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离原点的长度有关，而与它所表示的数的正负无关。
2.绝对值的代数定义：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0. （例11）
即（1）如果a>0,那么=a;(2)如果a=0,那么=a;（3）如果a<0,那么=-a.
可以表示为=.
知识点十一：绝对值的性质（难点）
1.任何数都有绝对值，且只有一个，并且任何数的绝对值都是非负数；
2.绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它相反数的数的非正数。0是绝对值最小的数。
3.绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数。
4.互为相反数的两个数绝对值相等；反之，绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数。（例12、例13）
知识点十二：比较有理数的大小（难点）
1.利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2.利用数的性质比较异号两数及与0的大小：正数大于0,0大于负数，正数大于负数。
3.利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的反而小。
方法：比较两个数的大小时要先看清符号：异号时，正数大于负数；同号时，要比较绝对值的大小。（例14）
例题精讲。例1.下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
正数负数。例2.将正、负数用相反意义的量表示。
1）如果把公元2023年记作+2023年，那么-240年表示。
2）若把比海平面高规定为正，则+25m表示 ，0m表示 .
例3.将相反意义的量用正、负数表示。
某水库正常水位为30m,高出正常水位记为正数，记录表上有5次记录分别为+1.5,0，+2.8，-5，-2.3，这5次记录表示的实际水位分别是。
例4.下列说法错误的是（ ）
a.0是自然数 b.0是整数 c.0是偶数d.海拔是0表示没有海拔。
例5.下列说法正确的个数是（ ）
0是最小的整数一个有理数，不是正数就是负数；
有理数包括整数、零、分数； a是正数，-a是负数；
自然数一定是正数整数包括正整数和负整数及0；
非正数就是负数和0.
例6.把下列各数填入表示它属于的集合的圈内。
正数集负数集整数集分数集。
正整数集有理数集负有理数集负分数集。
例7.指出下列画数轴时的错误之处。
例8.用数轴表示有理数。
画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：4，-2，-4,5，，0
例9.分别写出下列各数的相反数：
例10.化简下列各数：
例11.求下列各数的绝对值：
例12.已知。
例13．已知a、b、c在数轴上位置如图：
则代数式的值等于（ ）
a．1 b． -1 c．0 d．
例14.实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则 （填“>”或“=”
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一 目标与要求 1.了解正数与负数是从实际需要中产生的。2.能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也不是负数。3.理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算 4.了解倒数概念，会求给定有理数的倒数 5.通过将除法运算转化为乘法运算，培养学生的转化的思想 通过有理数...