整数的拆分。
不连续加数拆分】
例1将一根长144厘米的铁丝，做成长和宽都是整数的长方形，共有___种不同的做法？其中面积最大的是哪一种长方形？（2024年“我爱数学”邀请赛试题）讲析：
做成的长方形，长与宽的和是144÷2=72（厘米）。
因为72=1+71=2+70=3+69=……35+37=36+36，所以，一共有36种不同的做法。
比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是36厘米时，面积最大。
例2将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是___
2024年武汉市小学数学竞赛试题）
讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数，则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含有1，则与“乘积最大”不符。
所以，要使加数之积最大，加数只能是2和3。
但是，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。因为2×2×2=8，而3×3=9。
所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。而1992÷3=664。故，这些自然数是664个3。
例3把50分成4个自然数，使得第一个数乘以2等于第二个数除以2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有___种分法。（2024年《小学生报》小学数学竞赛试题）讲析：设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。
因为a×2=b÷2，则b=4a。所以a、b之和必是5的倍数。那么，a与b的和是。
又因为c＋2=d-2，即d=c＋4。所以c、d之和加上4之后，必是2的倍数。则c、d可取的数组有：
）。由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7，得出符合条件的a、b、c、d一组为）。
同理得出另外三组为）。
所以，最多有4种分法。【连续加数拆分】
例1把945写成连续自然数相加的形式，有多少种？（第一届“新苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：因为945=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）奇约数。
所以，945共能分拆成16-1=15（种）不同形式的连续自然数之和。例2几个连续自然数相加，和能等于1991吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果不能，说明理由。
全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：1991=11×181，它共有（1＋1）×（1+1）=4（个）奇约数。所以，1991可以分成几个连续自然数相加，并且有3种答案。
由1991=1×1991得：1991=995＋996。由1991=11×181得：
整除及数字整除特征。
数字整除特征】
例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。
设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。
又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。所以a-b=3。
又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。从而很容易求出商为427284÷99=4316。
例2某个七位数1993□□□能同时被整除，那么它的最后三位数字依次是__。
2024年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：因为的最小公倍数是2520。而1993000÷2520=790余2200。
于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是。
例3七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。
要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。则有b-a=8，或者a-b=3。①当b-a=8时，b可取；
当a-b=3时，b可取。
所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。
例4下面这个四十一位数55……5□99……9
其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。2024年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：注意到111111÷7=15873，所以555555与999999也能被7整除。则18个5或18个9组成的数，也能被7整除。
要使原四十一位数能被7整除，只需55□99这个五位数是7的倍数。容易得出，中间方格内的数字是6。【整除】
例1一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小数是___
天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题）讲析：所求这个数分别除以3和7时，余数相同。
3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验，23除以5商4余3，23是本题的答案。
例2一个整数在3600到3700之间，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。这个整数是__。
《现代小学数学》邀请赛试题）
讲析：所求整数分别除以以后，余数各不相同。但仔细观察可发现，当把这个数加上4以后，它就能同时被整除了。
因为和7的最小公倍数是105。3600÷105=34余30，105-30=75，所以，当3600加上75时，就能被和7整除了。即所求这个整数是3675。
例3在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的9倍。
这样的两位数共有__个。（中南地区小学数学竞赛试题）
讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍，且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。
又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。
结合被9整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有和15共4个。
例4a是一个自然数，已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除，那么这样的自然数a最小是__。2024年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析：a与a+1的各位数字之和都是7的倍数。
则a的个位数字一定是9。因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数，则a+1的各位数字之和除以7以后，肯定余1。
只有当a的个位上是9时，a+1之后，个位上满十后向前一位进一，a+1的个位数字和才有可能是7的倍数。
联想到69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。例5一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a[见图5.43（1）]，又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是2a[见图5.
43（2）]，求这个自然数。
北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：可从最后的商步步向前推算。
由图5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8×（8a+7）+1=64a+57；所求的自然数是8×（64a+57）+1=512a+457由图5.
43（2）得，所求的自然数是578a+259所以，512a+457=578a+259。解得a=3。
故，这个自然数是512×3+457=1993。
例6某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是。他们的**号码依次是十二个连续的六位自然数，并且每户的**号码都能被这户的门牌号整除。
已知这些**号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的**号码也能被13整除。问这一家的**号码是什么数？（2024年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）
讲析：设这十二家住户的**号码依次是a+1、a+2、a+3、……a+12。因为每户的**号码都能被自己家的门牌号整除，所以数a能同时被整除。
而的最小公倍数是27720，所以六位数中，能同时被、…12整除的最小自然数是27720×4=110880
现在考虑第九户人家的**号码能被13整除问题。因为110880÷13，余数是12；27720÷13，余数是4。
也就是在110889的基础上，再加上n个27720之后的和，能被13整除的数，就是所求的数。
即12+4n，是13的倍数。
显然，当n=10时，12+4n是13的倍数。所以，门牌号码是9的这家**号码是：110889+27720×10=388089。
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