八年级数学《轴对称图形》
01 基础题。
知识点1 轴对称与轴对称图形。
1．(赤峰中考)下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是 (填序号)．
2．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？
第2题）（第3题）
知识点2 线段的垂直平分线。
3．(遂宁中考)如图，在△abc中，ac＝4 cm，线段ab的垂直平分线交ac于点n，△bcn的周长是7 cm，则bc的长为( )
a．1 cm； b．2 cm； c．3 cm； d．4 cm
知识点3 画轴对称图形。
4．请作出图中四边形abcd关于直线a的轴对称图形，要求：不写作法，但必须保留作图痕迹．
知识点4 等腰三角形。
5．(荆门中考改编)如图，△abc中，ab＝ac，ad是∠bac的平分线，已知bd＝4，则bc的长为( )a．5； b．6； c．8； d．10
第5题）（第6题）（第7题）
6．如图，在△abc中，ab＝ac，∠a＝36°，bd、ce分别是∠abc、∠bcd的平分线，则图中的等腰三角形有( )
a．5个； b．4个； c．3个； d．2个。
知识点5 等边三角形。
7．如图所示，△abc是等边三角形，且bd＝ce，∠1＝15°，则∠2的度数为( )
a．15° b．30° c．45° d．60°
8．(义乌中考)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．
小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．
如图1，衣架杆oa＝ob＝18 cm，若衣架收拢时，∠aob＝60°，如图2，则此时a，b两点之间的距离是cm.
知识点6 含30°角的直角三角形的性质。
9．如图，△abc中，∠c＝90°，∠abc＝60°，bd平分∠abc，若ad＝6，则cd＝ ．
第9题）（第10题）（第11题）
10．如图，△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，若ad＝2 cm，则△abc的周长为。
cm.知识点7 最短路径问题。
11．如图，在△abc中，∠bac＝90°，ab＝3，ac＝4，bc＝5，ef垂直平分bc，点p为直线ef上的任一点，则ap＋bp的最小值是( )a．3； b．4； c．5； d．6
02 中档题。
12．如图，在△abc中，ab＝ac，∠abc＝75°，e为bc延长线上一点，∠abc与∠ace的平分线相交于点d，则∠d的度数为( )a．15° b．17.5° c．20° d．22.5°
第12题）（第13题）
13．(雅安中考)如图所示，顶角a为120°的等腰△abc中，de垂直平分ab于d，若de＝2，则ec
14．如图，在平面直角坐标系中，a(1，2)，b(3，1)，c(－2，－1)．
1)在图中作出△abc关于y轴对称的△a1b1c1；
2)△a1b1c1的面积为 ．
15．如图所示，mp和nq分别垂直平分ab和ac.
1)若△apq的周长为12，求bc的长；
2)∠bac＝105°，求∠paq的度数．
03 综合题。
16．如图，在等边△abc中，点e为边ab上任意一点，点d在边cb的延长线上，且ed＝ec.
1)当点e为ab的中点时(如图1)，则有ae＝db(填“＞”或“＝”
2)猜想ae与db的数量关系，并证明你的猜想．
参***：1．①②2．解：1和3，是，两条．3．c；
4．解：如图所示：四边形a′b′c′d′即为所求．
5．c；6．a；7．d；8．18；9．3；10．12；
11．b；12．a；
14．（1）解：如图所示：△a1b1c1即为所求．
15．解：(1)∵mp和nq分别垂直平分ab和ac，∴ap＝bp，aq＝cq.
△apq的周长为ap＋pq＋aq＝bp＋pq＋cq＝bc.
△apq的周长为12，∴bc＝12.
2)∵ap＝bp，aq＝cq，∴∠b＝∠bap，∠c＝∠caq.
∠bac＝105°，∴bap＋∠caq＝∠b＋∠c＝180°－∠bac＝180°－105°＝75°.
∠paq＝∠bac－(∠bap＋∠caq)＝105°－75°＝30°.
16．解：当点e为ab上任意一点时，ae与db的大小关系不会改变．理由如下：
过e作ef∥bc交ac于f，△abc是等边三角形，∠abc＝∠acb＝∠a＝60°，ab＝ac＝bc.
∠aef＝∠abc＝60°，∠afe＝∠acb＝60°，即∠aef＝∠afe＝∠a＝60°.
△aef是等边三角形．∴ae＝ef＝af.
∠abc＝∠acb＝∠afe＝60°，∠dbe＝∠efc＝120°，∠d＋∠bed＝∠fce＋∠ecd＝60°.
de＝ec，∴∠d＝∠ecd.∴∠bed＝∠ecf.
在△deb和△ecf中，△deb≌△ecf(aas)．
bd＝ef＝ae，即ae＝bd.
(二) 线段的垂直平分线的应用。
类型1 线段的垂直平分线的性质在求线段长中的应用。
1．如图，在△abc中，ab，ac的垂直平分线分别交bc于点d，e，垂足分别为f，g，已知△ade的周长为12 cm，则bc
第1题）2．如图，ab比ac长3 cm，bc的垂直平分线交ab于d，交bc于e，△acd的周长是14 cm，求ab和ac的长．
3．如图，在四边形abcd中，ad∥bc，e为cd的中点，连接ae，be，be⊥ae，延长ae交bc的延长线于点f.求证：
1)fc＝ad；
2)ab＝bc＋ad.
类型2 线段垂直平分线的性质在实际问题中的应用。
4．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区a，b，c之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
类型3 线段的垂直平分线的性质在判定两线段位置关系中的应用。
5．如图，oe，of分别是△abc中ab，ac边的中垂线(即垂直平分线)，∠obc，∠ocb的平分线相交于点i，试判定oi与bc的位置关系，并给出证明．
参***：1．12_cm；
2．解：∵△acd的周长是14 cm，∴ad＋dc＋ac＝14 cm.
又∵de是bc的垂直平分线，∴bd＝dc.∴ad＋dc＝ad＋bd＝ab.∴ab＋ac＝14 cm.
ab比ac长3 cm，∴ab－ac＝3 cm.∴ab＝8.5 cm，ac＝5.5 cm.
3．证明：(1)∵ad∥bc，∴∠ade＝∠fce.
e是cd的中点，∴de＝ce.
又∵∠aed＝∠fec，∴△ade≌△fce(asa)．∴fc＝ad.
2)∵△ade≌△fce，∴ae＝ef，ad＝cf.
又∵be⊥ae，∴be是线段af的垂直平分线．∴ab＝bf＝bc＋cf.
ad＝cf，∴ab＝bc＋ad.
4．解：连接ab，bc，分别作ab，bc的垂直平分线de，gf，两直线交于点m，则点m就是所要确定的购物中心的位置，如图．
5．解：oi⊥bc.
证明：连接ao，延长oi交bc于点m.
oe，of分别为ab，ac的中垂线，oa＝ob，oa＝oc.∴ob＝oc.
又∵bi，ci分别为∠obc，∠ocb的平分线，点i必在∠boc的平分线上．∴∠boi＝∠coi.
在△bom和△com中，△bom≌△com(sas)．∴bmo＝∠cmo.
又∵∠bmo＋∠cmo＝180°.∴bmo＝∠cmo＝90°.∴oi⊥bc.
(三) 轴对称变换的应用。
类型1 轴对称图形的展开与折叠。
1．(绥化中考)把一张正方形纸片如图①，图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是( )
第1题）（第2题）
类型2 翻折式的轴对称变换。
2．(娄底中考)将△abc沿直线de折叠，使点c与点a重合，已知ab＝7，bc＝6，则△bcd的周长为 ．
3．(潜江中考)如图，在rt△abc中，∠acb＝90°，点d在ab边上，将△cbd沿cd折叠，使点b恰好落在ac边上的点e处．若∠a＝26°，求∠cde的度数．
4．(枣庄中考改编)如图，△abc的面积为6，ac＝3，现将△abc沿ab所在直线翻折，使点c落在直线ad上的c′处，p为直线ad上的一点，求线段bp的最短长度．
类型3 轴对称变换与坐标。
5．已知点m(2a－b，5＋a)，n(2b－1，－a＋b)．
1)若点m，n关于x轴对称，求a、b的值；
2)若点m，n关于y轴对称，求(4a＋b)2 017的值．
6．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，a(－1，5)，b(－1，0)，c(－4，3)，直线m为横坐标都为2的点组成的一条直线．
1)作出△abc关于直线m对称的△a1b1c1；
2)直接写出a1，b1，c1的坐标；
3)求出△a1b1c1的面积．
参***：1． c；
3．解：∵在rt△abc中，∠acb＝90°，∠a＝26°，∴b＝64°.
将△cbd沿cd折叠，使点b恰好落在ac边上的点e处，且∠acb＝90°，∠bcd＝∠ecd＝45°，∠ced＝∠b＝64°.∴cde＝180°－∠ecd－∠ced＝71°.
4．解：过点b作bm⊥ad于点m，由题意可知△abc≌△abc′，∴s△abc＝s△abc′＝6.
s△abc′＝ac′·bm＝6，ac′＝ac＝3，∴bm＝4.
根据垂线段最短可知bm≤bp，∴bp≥4.∴bp的最短长度为4.
5．解：(1)∵m，n关于x轴对称，解得。
2)∵m，n关于y轴对称，解得∴(4a＋b)2 017＝－1.
6．解：(1)如图所示．
2)a1(5，5)，b1(5，0)，c1(8，3)．
3)△a1b1c1的面积为7.5.
(四) 与等腰三角形的性质与判定相关的证明。
类型1 证明线段或角的数量关系。
1．如图，△abc中，ab＝ac，d是bc的中点，e，f分别是ab，ac上的点，且ae＝af，求证：de＝df.
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