§15．3．2．1 完全平方公式（一）
教学目标。（一）教学知识点。
1．完全平方公式的推导及其应用． 2．完全平方公式的几何解释．
（二）能力训练要求。
1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．
2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
（三）情感与价值观要求。
在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神．
教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．
教学难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．
教学方法：自主探索法。
有了平方差公式的学习基础，学生可以在教师引导下自主探索完全平方公式，最后达到灵活、准确应用公式的目的．
教具准备：投影片．
教学过程。ⅰ．提出问题，创设情境。
[师]请同学们**下列问题：
（出示投影片）
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…
（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
[生]（1）第一天老人一共给了这些孩子a2糖．
（2）第二天老人一共给了这些孩子b2糖．
（3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖．
（4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即：
（a+b）2（a2+b2）
我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题．
[师]老师很欣赏你的观察力，这正是我们这节课要研究的问题．
ⅱ．导入新课。
[师]能不能将（a+b）2转化为我们学过的知识去解决呢？
[生]可以．我们知道a2=a·a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了．
[师]像研究平方差公式一样，我们**一下（a+b）2的运算结果有什么规律．
（出示投影片）
计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+12）（m+2）2=__
（3）（p-1）2=（p-1）（p-14）（m-2）2
（5）（a+b）26）（a-b）2
[生甲]（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1
（2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·（-1）+（1）·p+（-1）×（1）=p2-2p+1
（4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m·（-2）+（2）·m+（-2）×（2）=m2-4m+4
（5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
（6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
[生乙]我还发现（1）结果中的2p=2·p·1，（2）结果中4m=2·m·2，（3）、（4）与（1）、（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认为它可以做公式用．
[师]大家分析得很好．可以用语言叙述吗？
[生]两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．
[生]它是一个完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？
[师]很有道理．它和平方差公式一样，使整式运算简便易行．于是我们得到完全平方公式：
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
（出示投影片）
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？
[生甲]先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．
[生乙]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
[生丙]阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2．这正好符合完全平方公式．
[生丁]那么，我们可以用完全相同的方法来研究图（2）的几何意义了．
如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形dcge与矩形bchf是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a·b；正方形hcgm的边长是b，其面积就是b2；正方形afme的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2．．也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
[师]数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．
（a+b）2-（a2+b2）
应用举例：出示投影片：
[例1]应用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2 （2）（y-）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2
[例2]运用完全平方公式计算：
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．
[例1]解：
（1）（4m+n）2=（4m）2+2·4m·n+n2 =16m2+8mn+n2
（2）方法一：（y-）2=y2-2·y·+（2=y2-y+
方法二：（y-）2=[y+（-2=y2+2·y·（-2=y2-y+
（3）（-a-b）2=（-a）2-2·（-a）·b+b2=a2+2ab+b2
（4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
从（3）、（4）的计算可以发现：
（a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2
[例2]解：（1）1022=（100+2）2 =1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404．
[师]请同学们总结完全平方公式的结构特征．
[生]公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
[师]说得很好，我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式．
ⅲ．随堂练习。
课本p181练习．
课后作业。课本p183习题题．
初中数学八年级《完全平方公式 添括号 》优秀教学设计
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