第九讲数学思想方法。
一、学习指引。
1．知识要点：
数形结合思想；分类讨论思想；转化化归思想；方程与函数思想。
2．方法指引：
1）数形结合法：每个几何图形中蕴含着一定的数量关系，而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体。 数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解．
2）分类讨论法：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况。
予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分。
类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类。
的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分。
重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分。
讨论应逐级进行．
3）转化化归思想：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式。
方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现。
这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．
4）方程与函数思想：方程与函数是研究数量关系的重要工具，在处理某些问题时，往。
往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系建立方程（或方程组）或函数关系，这种通。
过方程（组）或函数来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程与函。
数思想．二、典型例题。
例1．（2009丽水）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：
1) 他们在进行 ▲ 米的长跑训练，在0＜x＜15的时
段内，速度较快的人是 ▲
2) 求甲距终点的路程y（米）和跑步时间 x（分）之间的函数关系式；
3) 当x=15时，两人相距多少米？在15＜x＜20的时段内，求两人速度之差．
例2． 在平面直角坐标系内，已知点a(2,1),o为坐标原点。请你在坐标轴上确定点p,使得δaop成为等腰三角形。在给出的坐标系中把所有这样的点p都找出来，画上实心点，并在旁边标上p1,p2,……pk,(有k个就标到pk为止，不必写出画法) 求出坐标。
例3．（2006浙江湖州）如图，已知平面直角坐标系，a、b两点的坐标分别为a（2，－3），b（4，－1）．
1）若p（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=__时，△pab的周长最短；
2）若c（a，0），d（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=__时，四边形abdc的周长最短；
3）设m，n分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点m（m，0）、n（0，n），使四边形abmn的周长最短？若存在，请求出m=__n=__不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
例4．（2009丽水）绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
1) 按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的**补贴。农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的**补贴？
2)为满足农民需求，商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台， 且冰箱的数量不少于彩电数量的．
请你帮助该商场设计相应的进货方案；
哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价进价），最大利润是多少？
例5．（2009嘉兴）如图，已知a、b是线段mn上的两点，，，以a为中心顺时针旋转点m，以b为中心逆时针旋转点n，使m、n两点重合成一点c，构成△abc，设．
1）求x的取值范围；
2）若△abc为直角三角形，求x的值；
3）**：△abc的最大面积？
第九讲数学思想方法同步练习。
活动基地班级姓名。
基础巩固】1．不等式组的解集在数轴上，如图表示应是。
2．若等腰三角形的一个内角为50则其他两个内角为。
a．500 ，80o b．650， 650
c．500 ，650d．500，800或 650，650
3．一次函数y=kx＋b的图象经过点a（0，－2）和b（－3，6）两点，那么该函数的表达式是 （
4．设一个三角形的三边长为3，l－2m，8，则m的取值范围是。
a．0＜m＜ b. －5＜m－ 2 c．－2＜m ＜5 d．－＜m＜－l
5．如果表示a、b为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l－8所示，那么化简的结果等于。
a．2a b．2b c．－2a d．－2b
6．如图3－3－8所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为。
a．8 b．64 c．16 d．32
7．某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量 （件）关于时间t（月）的图象如图3－3－9所示，则该厂对这种产品来说。
a．1月至3月每月生产总量逐月增加两月生产总量逐月减少；
b．1月至3月每月生产总量逐月增加两月生产总量与3月持平；
c.1月至3月每月生产总量逐月增加两月均停止生产；
d.1月至 3月每月生产总量不变两月均停止生产．
8．若。a．5或－1 b．－5或1; c．5或1d．－5或－1
9．一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9， 则kb值为 （
a．14 b．－6 c．－4或21 d.－6或14
10．水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．
下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和-个出水口；③3点到4点，关门两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是。
abcd.②④
11．若一次函数的图象经过第。
一、二、四象限时，m的取值范围是___
12．已知直线y1=2x－1和y2=－x－1的图象如图3－3－24所示，根据图象填空．
当x___时，y1＞y2；当x___时，y1=y2；当x___时，y1＜y2.
方程组的解是。
13． 已知二次函数与一次函数 y2=kx+ m（k≠0）的图象相交于点 a（－2，4），b（8，2）（如图 3－3－25所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是___
14．已知直角三角形的两条边长分别和，则斜边上的高为结果保留根号）．
15．将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第行第列．
16.如图 3－1－2，梯形 abcd中，ad∥bc，ab=cd，对角线ac、bd相交于o点，且ac⊥bd，ad=3,bc=5，求ac的长．
17.某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看**答下列问题：
（1）求y1与y2的函数解析式；
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？
（3）果你是推销员，应如何选择付费方案？
18.如图3－1－1，反比例函数y=－与一次函数y=－x+2的图象交于a、b两点．
（1）求 a、b两点的坐标；
（2）求△aob的面积．
能力拓展】19．如图，已知直角坐标系内的梯形aobc（o为原点），ac∥ob，oc⊥bc，ac，ob的长是关于x的方程x2－(k+2)x+5=0的两个根，且s△aoc：s△boc=1：5．
（1）填空：0ck
（2）求经过o，c，b三点的抛物线的另一个交点为d，动点p，q分别从o，d同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点p沿ob由o→b运动，点q沿dc由d→c运动，过点q作qm⊥cd交bc于点m，连结pm，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△pmb是直角三角形．
第19题图。
20.在四边形abcd中，对角线ac平分∠dab．如图(1)，当∠dab＝120°，∠b＝∠d＝90°时，易证：ab＋ad＝ac．
1) 如图(2)，当∠dab＝120°，∠b与∠d互补时，线段ab、ad、ac有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
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