暑假专题——相似三角形。
重点、难点：
1.通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。
2.通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。
知识纵横】1.相似三角形。
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar ********s）。议一议：
1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？2.相似比。
相似三角形对应边的比叫做相似比。
说明：相似比要注意顺序：如△abc∽△a'b'c'的相似比abc的相似比。
这时。而△a'b'c'∽△
3.相似三角形的识别。
1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
典型例题】例1.如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形有（）对。
答：4对。例2.
如图，已知：△abc、△def，其中∠a＝50°，∠b＝60°，∠c＝70°，∠d＝40°，∠e＝60°，∠f＝80°，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△abc所分成的每个三角形与△def所分成的每个三角形分别对应相似？
如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。
解：例3.（2008·广东省）如图所示，四边形abcd是平行四边形，点f在ba的延长线上，连结cf交ad于点e。
1）求证：△cde∽△fae；
2）当e是ad的中点，且bc＝2cd时，求证：∠f＝∠bcf。
命题意图：相似三角形的识别、特征在解题中的应用。解析：由ab∥dc得：∠f＝∠dce，∠eaf＝∠d∴△cde∽△fae
又e为ad中点。
de＝ae，从而cd＝fa，结合已知条件，易证bf＝bc，∠f＝∠bcf
解：（1）∵四边形abcd是平行四边形∴ab∥cd
∠f＝∠dce，∠eaf＝∠d∴△cde∽△fae
2）∵e是ad中点，∴de＝ae
由（1）得：
cd＝af四边形abcd是平行四边形∴ab＝cd
ab＝cd＝af
bf＝2cd，又bc＝2cd∴bc＝bf∴∠f＝∠bcf
思路**：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。
例4.在梯形abcd中，∠a＝90°，ad∥bc，点p**段ab上从a向b运动，（1）是否存在一个时刻使△adp∽△bcp；
2）若ad＝4，bc＝6，ab＝10，使△adp∽△bcp，则ap的长度为多少？
解：（1）存在。
2）若△adp∽△bcp，则设或。
或∴ap长度为4或6
例5.如图，在平行四边形abcd中，e为cd上一点，de：ce＝2：3，连结ae、be、bd，且ae、bd交于点f，则（）
或。a. 4：10：25c. 2：3：5
b. 4：9：25d. 2：5：25
2024年黑龙江省中考题）
思路点拨：运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。∴选a
例6.如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠c＝90°，ab＝5cm，bc＝3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。
思路点拨：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△abc的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。解：
如图甲，设正方形efgh边长为x，则ac＝4而cd×ab＝ac×bc＝又△ceh∽△cab，得。
得。于是，解得：
如图乙，设正方形cfgh的边长为y cm由gh∥ac，得：即。
解得：即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为。
例7.如图，已知直角梯形abcd中，∠a＝∠b＝90°，设。
作de⊥dc，de交ab于点e，连结ec。
1）试判断△dce与△ade、△dce与△bce是否分别一定相似？若相似，**以证明。
2）如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似？
解：（1）△dce与△ade一定相似，△dce与△bce不一定相似，分别延长ba、cd交于f点。
由△fad∽△fbc，得：
于是fd＝dc，从而可证△fed≌△ced得∠aed＝∠dec所以△dec∽△aed
2）作cg⊥ad交ad延长线于g，由△aed∽△gdc，有。
得。一定成立。
要使△dce与△bce相似，那么即也就是当。
得。时，△dce与△bce一定相似。
模拟试题】（答题时间：40分钟）
1.如图，已知de∥bc，cd和be相交于o，若。
则ad：db
2.如图，△abc中，ce：eb＝1：2，de∥ac，若△abc的面积为s，则△ade的面积为。
3.若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为。
2024年武汉市中考题）
4.阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都。
等于相似比：，设分别表示这两个正方体的表面积，则，又设分别表示这两个正方体的体积，则。
1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）
a.两个球体b.两个圆锥体c.两个圆柱体d.两个长方体（2）请归纳出相似体的3条主要性质：
相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似体表面积的比等于相似体体积的比等于。
2024年江苏省泰州市中考题）
5.如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高（）
a. 11.25 m
b. 6.6 m
c. 8 m
d. 10.5 m
△bcd与△
6.如图，d为△abc的边ac上的一点，∠dbc＝∠a，已知abc的面积的比是2：3，则cd的长是（）a.b.
c.d.
ae＝be，则有。
7.如图，在正三角形abc中，d、e分别在ac、ab上，且（）
a.△aed∽△bedc.△aed∽△abd
b.△aed∽△cbdd.△bad∽△bcd
2024年杭州市中考题）
8.如图，已知△abc中，de∥fg∥bc，且ad：fd：fb＝1：2：3，则。
等于（）a. 1：9：36c. 1：8：27
b. 1：4：9d. 1：8：36
9.如图，已知梯形abcd中，ad∥bc，∠acd＝∠b，求证：
10.如图，△abc中，d是bc边上的中点，且ad＝ac，de⊥bc，de与ab相交于点e，ec与ad相交于点f。
1）求证：△abc∽△fcd；（2）若，求de的长。
2024年河北省中考题）
11.阅读并解答问题。
在给定的锐角△abc中，求作一个正方形defg，使d、e落在bc上，f、g分别落在ac、ab边上，作法如下：
第一步：画一个有3个顶点落在△abc两边上的正方形d'e'f'g'。第二步：连结bf'，并延长交ac于点f；第三步：过f点作fe⊥bc于e；
第四步：过f点作fg∥bc交ab于点g；第五步：过g点作gd⊥bc于点d。
四边形defg即为所求作的四边形defg，为正方形。问题：
1）证明上述所求作的四边形defg为正方形；（2）在△abc中，如果形defg的边长。
江苏省扬州市中考题），∠bac＝75°，求上述正方。
12.如图，在△abc中，设每个内接矩形的周长分别为。
在bc上有100个不同的点。
安徽省竞赛题）
则。过这100个点分别作△abc的内接矩形。
13.如图，在△abc中，de∥fg∥bc，gi∥ef∥ab，若△ade、△efg、△gic的面积分别为。
则△abc的面积为。
14.如图，一个边长为厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点b重合，另两个顶点分别在正方形的两条边ad、dc上，那么这个正方形的面积是厘米2。
第11届“希望杯”邀请赛试题）
15.如图，将一个矩形纸片abcd沿ad和bc的中点连线对折，要使矩形aefb与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（）
a. 2：d. 1：1
16.如图，梯形abcd中，ab∥cd，且cd＝3ab，ef∥cd，ef将梯形abcd分成面积相等的两部分，则ae：ed等于（）
a. 2b.c.d.
试题答案】
或。4.（1）a；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方5. c
6. c7. b
8. c9.由△abc∽△dca，得。
10.（1）略。
2）过a作am⊥bc于m由△abc∽△fcd，得：又。得。
de∥am，得。
11.（1）易证明四边形efgd为矩形，由ef＝gf，故四边形efgd为正方形。
而，得。2）过a作aq⊥bc于q交gf于p，且aq＝bq，∠bca＝60°，∠qac＝30°，又。即由。得。
解得。提示：从内接一个矩形入手，探求内接△abc中任一矩形的长与宽的关系。13.提示：14.
则。解：设。
由△bce∽△edf，得又15. c16. c
提示：延长da、cb相交于g，设。则。即。即。
初中八年级数学题库八年级数学质量调研试卷
八年级数学学科阶段性质量调研 2011.10 命题人 任竹平审核人 徐晓兰 考试时间 90分钟满分120分。一 填空题 每空2分，共36分 1.4的平方根是27的立方根是。2.比较大小0.14 3.已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则第三边的长是。4.点m在数轴上与原点相距个单位，则点m表示的实数...
初中八年级数学题库八年级数学第二学期期末检测卷 9
八年级数学第二学期期末检测卷 9 一 填空题 每小题2分，共20分 x22y23z2xyz 1 已知，那么。xy2yz3xz234 2 若y与。成反比例，x与成正比例，则y是z的 函数。xz 214 若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长是 a.21b.29c.21或29d.21...
初中八年级数学题库八年级第一学期数学期中模拟试卷
八年级第一学期数学期中模拟试卷 07.11.班级姓名得分 一 选择题 每题3分，共计27分 1 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是。a 1.5,2,3 b 7,24,25 c 6,8,10 d 9,12,15 2 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的有。a 1个b 2个c...