期末复习(二) 勾股定理。
各个击破。命题点1 勾股定理的证明。
例1】 (1)以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理；
2)利用图2中的直角梯形，证明<.
图1图2思路点拨】 (1)利用梯形面积的两种算法列出等式证明；(2)利用直角梯形中斜腰大于直角腰证明．
解答】 方法归纳】 勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积．
1．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
1)画出拼成图形的示意图；
2)证明勾股定理．
命题点2 勾股定理与逆定理。
例2】 如图，每个小正方形的边长为1.
1)求四边形abcd的周长；
2)求证：∠bcd＝90°.
思路点拨】 (1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出△bcd的三边长，利用勾股定理的逆定理证明．
解答】 方法归纳】 正方格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出．勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路．本题的第(2)问还可以通过两个三角形全等来证明．
2．如图，已知：在正方形abcd中，e是bc中点，f在ab上，且af∶fb＝3∶1.
1)请你判断ef与de的位置关系，与同学交流，并说明理由；
2)若此正方形的面积为16，求df的长．
命题点3 勾股定理在实际问题中的应用。
例3】 如图，高速公路的同侧有a、b两个村庄，它们到高速公路所在直线mn的距离分别为aa1＝2 km，bb1＝4 km，a1b1＝8 km.现要在高速公路上a1b1之间设一个出口p，使a、b两个村庄到p的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？
思路点拨】 运用“两点之间线段最短”先确定出p点在a1b1上的位置，再利用勾股定理求出ap＋bp的长．
解答】 方法归纳】 解这类题关键在于运用几何知识正确找到适合条件的p点的位置，会构造rt△ab′e求之，勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．
3．如图所示，某三条公路的交叉地带是一个三角形，经测量这个三角形的三边长分别是ac＝130 m，bc＝140 m，ab＝150 m，市**准备将其规划为绿化用地，请求出这块绿化地的面积．
命题点4 图形的折叠与勾股定理。
例4】 如图，把矩形纸片oabc放入平面直角坐标系中，使oa、oc分别落在x轴、y轴上，顶点o与原点o重合，连接ac，将矩形纸片oabc沿ac折叠，使点b落在点d的位置，若b(1，2)，则点d的横坐标是___
思路点拨】 求点d的横坐标即先要求点d到y轴的距离，然后根据点d在第二象限，确定d点的横坐标．
方法归纳】 解决有关折叠的问题时，通常利用勾股定理这个等量关系建立方程．
4．(安徽中考)如图，rt△abc中，ab＝9，bc＝6，∠b＝90°，将△abc折叠，使a点与bc的中点d重合，折痕为mn，则线段bn的长为( )
a. bc．4 d．5
整合集训。一、选择题(每小题3分，共30分。
1．有六根细木棒，它们的长度分别为(单位：cm)，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为( )
a．2，4，8b．4，8，10
c．6，8，10d．8，10，12
2．一个圆柱形铁桶的底面直径为24 cm，高为32 cm，则桶内所能容下的木棒最长为( )
a．20 cmb．50 cm
c．40 cmd．45 cm
3．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )
4．如图，将三边分别为的△abc，沿最长边ab翻转180°成△abc1，则cc1的长等于( )
abcd.
5．如图，正方形网格中的△abc，若小方格边长为1，则△abc是( )
a．直角三角形 b．锐角三角形 c．钝角三角形 d．以上答案都不对。
6．在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么下列各比值中，是这个直角三角形的三边之比的是( )
a．1∶2∶3b．2∶3∶4 c．1∶4∶9d．1∶∶2
7．如图，△abc和△dce都是边长为4的等边三角形，点b、c、e在同一条直线上，连接bd，则bd的长为( )
a. b．2
c．3d．4
8．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是( )
a．1.5b．2c．2.5d．3
9．(荆州中考)如图，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点a和点c嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( )
a．4 dmb．2 dmc．2 dmd．4 dm
10．(钦州中考)如图，6个边长为1的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从a点到b点只能沿图中的线段走，那么从a点到b点的最短距离的走法共有( )
a．1种 b．2种 c．3种 d．4种。
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为___
12．(无锡中考)如图，△abc中，cd⊥ab于d，e是ac的中点，若ad＝6，de＝5，则cd的长等于___
13.(滨州中考)如图，在平面直角坐标系中，将长方形aocd沿直线ae折叠(点e在边dc上)，折叠后顶点d恰好落在边oc上的点f处，若点d的坐标为(10，8)，则点e的坐标为___
14．已知|x－12|＋(y－13)2和z2－10z＋25互为相反数，则x，y，z为三边的三角形是___三角形．
15．(甘孜中考)如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积之比为1∶13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为___
16．如图，在离水面高度为5 m的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5 m收绳．则当收绳8秒后船向岸边移动了m(结果保留根号)．
三、解答题(共52分)
17．(8分)(湘潭中考)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点c在ab的延长线上，设想过c点作直线ab的垂线l，过点b作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于d点，经测量∠abd＝135°，bd＝800米，求在直线l上距离d点多远的c处开挖？(≈1.414，精确到1米)
18．(10分)在△abc中，a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△abc是否是直角三角形．
19．(10分)一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠a和∠dbc都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示：
图1图21)你认为这个零件符合要求吗？为什么？
2)求这个零件的面积．
20．(12分)如图，一根长度为50 cm的木棒的两端系着一根长度为70 cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？
21．(12分)在△abc中，ab＝2，ac＝4，bc＝2，以ab为边向△abc外作△abd，使△abd为等腰直角三角形，求线段cd的长．
参***。例1 (1)∵rt△abe≌rt△ecd，∠aeb＝∠edc.又∠edc＋∠dec＝90°，∠aeb＋∠dec＝90°.∴aed＝90°.
s梯形abcd＝srt△abe＋srt△dec＋srt△aed，(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2.
整理得a2＋b2＝c2.
2)证明：∵bc＝a＋b，ad＝c，bc例2 (1)根据勾股定理可知：ab＝3，bc＝，cd＝，ad＝5，四边形abcd的周长＝8＋2.
2)证明：连接bd，∵bc＝，cd＝，db＝，∴bc2＋cd2＝bd2.
△bcd是直角三角形，即∠bcd＝90°.
例3 过b作b点关于mn的对称点b′，连接ab′交a1b1于p点，则ap＋bp＝ap＋pb′＝ab′，易知p点即为到a、b距离之和最短的点．过a作ae⊥bb′于e，则ae＝a1b1＝8，b′e＝aa1＋bb1＝2＋4＝6.由勾股定理得，ab′＝＝10.即ap＋bp＝ab′＝10(km)．
故出口p到a、b两村庄的最短距离之和是10 km.
例4 －题组训练。
1．(1)图略 (2)证明：用大正方形的面积证明．c2＝(b－a)2＋4×ab＝b2＋a2.
2.(1)ef与de垂直，即ef⊥de.连接df，设正方形边长为a，则ad＝dc＝a，af＝a，bf＝a，be＝ec＝a.
八年级下册数学《勾股定理》勾股定理的认识知识点整理
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人教版八年级下册勾股定理
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