1、 如图△abd和△bcd均为等边三角形，e为ad上的一个动点，f是cd上的一个动点，且。
ebf=60°。（1）判断△ebf的形状并说明理由。（2）若ab=4，求△ebf面积的最小值。
2、如图，在等腰直角三角形mnc中．cn=mn= ，将△mnc绕点c顺时针旋转60°，得到△abc，连接am，bm，bm交ac于点o．
1）求证：△cam为等边三角形；（2）连接an，求线段an的长．
3、如图，等腰直角△abc中，∠abc=90°，点d在ac上，将△abd绕顶点b沿顺时针方向旋转90°后得到△cbe．
1）求∠dce的度数； （2）当ab=4，ad：dc=1：3时，求de的长．
4、如图，在△abc和△bcd中，∠bac=∠bcd=90°，ab=ac，cb=cd．延长ca至点e，使ae=ac；延长cb至点f，使bf=bc．连接ad，af，df，ef．延长db交ef于点n．
（1）求证：ad=af； （2）求证：bd=ef；
5、如图，ad∥bc，∠d=90°．
1）如图1，若∠dab的平分线与∠cba的平分线交于点p，试问：点p是线段cd的中点吗？为什么？
2）如图2，如果p是dc的中点，bp平分∠abc，∠cpb=35°，求∠pad的度数为多少？
6、已知：如图，△abc中，ad⊥bc，bd=de，点e在ac的垂直平分线上．
1）请问：ab、bd、dc有何数量关系？并说明理由．
2）如果∠b=60°，请问bd和dc有何数量关系？并说明理由．
7、如图，已知△abc是等边三角形，△bdc是顶角∠bdc=120°的等腰三角形，以d为顶点作一个。
60°角，它的两边分别交ab于m，交ac于n，连接mn，求证：mn=bm+cn．
8、如图，已知d是等边△abc内一点，p是△abc外一点，db=da，bp=ab，∠dbp=∠dbc．
求∠bpd的度数．
9、如图①已知△acb和△dcb为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点c重合．
1）求证：ad=be；
2）将△dce绕点c旋转得到图②，点a、d、e在同一直线上时，若cd=√2，be=3，求ab的长；
3）将△dce绕点c顺时针旋转得到图③，若∠cbd=45°，ac=6，bd=3，求be的长．
10、（1）问题发现。
如图1，△acb和△dce均为等边三角形，点a，d，e在同一直线上，连接be．
填空：∠aeb的度数为___
线段ad，be之间的数量关系为___
2）拓展**。
如图2，△acb和△dce均为等腰直角三角形，∠acb=∠dce=90°，点a，d，e在同一直线上，cm为△dce中de边上的高，连接be，请判断∠aeb的度数及线段cm，ae，be之间的数量关系，并说明理由．
1、如图，∠aob=90°，∠b=30°，△cod可以看作是由△aob绕点o顺时针旋转α角度得到的．若点c在ab上，则α的大小为___
2、如图，p是正等边△abc内一点，且pa=6，pb=8，pc=10，若将△pac绕点a逆时针旋转后，得到△p′ab，求点p与p′之间的距离的pp与∠apb的度数。
3、给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．如图，将△abc绕顶点b按顺时针方向旋转60°得到△dbe，连接ad，dc，ce，已知∠dcb=30°．
1）求证：△bce是等边三角形；
2）求证dc2+bc2=ac2，即四边形abcd是勾股。
4、两个全等的三角尺重叠放在△acb的位置，将其中一个三角尺绕着点c逆时针旋转至△dce的位置，使点a恰好落在边de上，ab与ce相交于点f，已知∠acb=∠dce=90°，∠b=30°，ab=8cm，求cf的长。
5、如图（1），等边△abc中，d是ab边上的动点，以cd为一边，向上作等边△edc，连接ae．（1）△dbc和△eac会全等吗？请说说你的理由；
2）试说明ae∥bc的理由；
3）如图（2），将（1）动点d运动到边ba的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有ae∥bc？证明你的猜想．
6、如图，在△abc中，dm、en分别垂直平分ac和bc，交ab于m、n两点，dm与en相交于点f．
1）若△cmn的周长为15cm，求ab的长；
2）若∠mfn=70°，求∠mcn的度．
7、如图，de⊥ab于e，df⊥ac于f，若bd=cd、be=cf．
1）求证：ad平分∠bac；
2）直接写出ab+ac与ae之间的等量关系．
题。为了更好地治理市环城河水质，市治污公司决定购买若干台污水处理设备，现有a、b两种型号的设备可供选购，其中每台设备的**和每台设备处理的污水量如下表：
经调查：购买一台a型设备比购买一台b型设备多2万元，购买2台a型设备比购买3台b型设备少6万元． （1）求a，b的值．
2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案．
3）在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
5、如图，将边长为6的正三角形纸片abc进行两次折叠，展平后，得折痕ad、be（如图①），点o为其交点．
1）探求ao与od的数量关系，并说明理由；
2）如图②，若p，n分别为be，bc上的动点．当pn+pd的长度取得最小值时，求bp的长度；
6、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，b，c，e在同一条直线上，连接dc，1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明。 （2）dc⊥be
8、已知△aob，将△aob绕o点旋转到△cod位置，使c点落在ob边上，连接ac、bd．
1）若∠aob=90°（如图1），小亮发现∠bac=∠bdc，请你证明这个结论；
2）若∠aob=60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；
3）若∠aob为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；
12、阅读理解：数学课上，张老师出示了问题：如图1，ac，bd是四边形abcd的对角线，若∠acb=∠acd=∠abd=∠adb=60°，则线段bc，cd，ac三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长cb到e，使be=cd，连接ae，证得△abe≌△adc，从而容易证明△ace是等边三角形，故ac=ce，所以ac=bc+cd．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△abc绕着点a逆时针旋转60°，使ab与ad重合，从而容易证明△acf是等边三角形，故ac=cf，所以ac=bc+cd．
问题解决：小颖提出：如图4，如果把“∠acb=∠acd=∠abd=∠adb=60°”改为“∠acb=∠acd=∠abd=∠adb=45°”，其它条件不变，那么线段bc，cd，ac三者之间有何等量关系？
针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
一位同学拿了两块45三角尺△mnk和△acb做了一个**活动：将△mnk的直角顶点m放在△abc的斜边ab的中点处，设ac＝bc＝4．
如图1，两三角尺的重叠部分为△acm，则重叠部分的面积为___周长为___
将图1中的△mnk绕顶点m逆时针旋转45，得到图2，此时重叠部分的面积为周长为如果将△mnk绕m旋转到不同于图1和图2的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为在图3的情况下，若ad＝1，求出重叠部分图形的周长．
1、如图，正方形abcd的边长为2，点e，f分别在边ad，cd上，若∠ebf=45°，则△edf的周长等于。
如图， e是∠aob的平分线上一点，ec⊥ob，ed⊥oa，c、d是垂足，连接cd，且交oe于点f．
1）求证：oe是cd的垂直平分线．
2）若∠aob=60°，请你**oe，ef之间有什么数量关系？并证明你的结论．
如图，在矩形abcd中，ab=6cm，将矩形abcd折叠，使点b与点d重合，点c落在c′处，若ae：be=1：2，则折痕ef的长为___
已知△abc中，ab=ac，∠bac=120°，点d是边ac上一点，连bd，若沿直线bd翻折，点a恰好落在边bc上，则ad：dc=__
如图，已知边长为5的等边三角形abc纸片，点e在ac边上，点f在ab边上，沿着ef折叠，使点a落在bc边上的点d的位置，且ed⊥bc，则ce的长是（ ）
如图，矩形aobc，以o为坐标原点，ob、oa分别在x轴、y轴上，点a的坐标为（0，3），点b的坐标为（5，0），点e是bc边上一点，如把矩形aobc沿ae翻折后，c点恰好落在x轴上点f处．
1）求点f的坐标；
2）求线段af所在直线的解析式．
八年级数学旋转经典练习题
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