1. 什么是因式分解。
我们知道，根据整式乘法的运算法则，单项式乘多项式或者几个多项式相乘，所得的积是一个新的多项式。例如：
任何一个等式都可以概括成的形式。由等式自然可以得到等式。于是，由等式①、②可以写出。
比较式子①、②和③、④你有什么想法？
从形式上可以发现，①、中“=”之前是几个整式相乘，“=之后是一个多项式：③、则恰好相反。从这种形式上的区别可以想到，虽然两者是从不同的方向表示同一相等关系，但前者强调几个整式相乘“合成”为一个多项式的过程，而后者强调一个多项式“分解”为几个整式相乘的形式的过程。
一般地，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式），例如式子③、④这就是说，因式分解是对多项式进行的一种式子变形，变形后的结果是整式乘积的形式。
2. 因式分解是整式乘法的逆运算吗。
由上可知，式子①、②属于整式乘法，而式子③、④属于因式分解，它们是相互联系的等式，区别在于①与③、②与④中“=”前后的式子正好位置相反。
整式乘法：几个整式相乘一个整式。
因式分解：一个多项式几个整式相乘。
鉴于因式分解与整式乘法的上述区别与联系，有的同学可能会问：能不能说因式分解是整式乘法的逆运算呢？
我们先来看看运算的含义，通常所说的代数运算，是指由两个（或多个）数或式子，按照一定法则，得到一个新的数或式子。整个运算过程可以概括地写成的形式，其中a,b表示参加运算的两个元素（数或式子），*表示一种运算，c是一个元素，它表示运算结果。例如，整式乘法中，整式是进行运算的两个元素，“·是运算符号，运算结果是一个整式；整式除法中，整式是进行运算的两个元素，“÷是运算符号，运算结果是一个整式。
这也就是说，通常代数运算的过程具有把多个元素合成为一个元素的特征。
因式分解不是把多个元素“合成”为一个元素，而是把一个整式“分解”为多个整式之积，它不具备代数运算的特征。所以它不属于代数运算的范围，而仅是式子的一种分解变形。既然因式分解不属于运算，自然也就不是整式乘法的逆运算了。
与数的乘法和除法互为逆运算一样，整式的除法是整式乘法的逆运算。
3. 因式分解的基本方法。
进行整式的乘法运算时，方法是很明确的，只要按照乘法的法则逐步具体实施，就能得到作为乘积的多项式。把一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。
现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。
提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考。请看下面几道例题。
例1. 把因式分解。
解法1： 解法2：
评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法。虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单。通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化。
有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法。
例2. 把因式分解。
解： 评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法。
例3. 把因式分解。
解： 评注：多项式中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式。
但由于这两项再加上就是，所以先对加、减，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解。上面的解法中，把变形为，形式上是由简单变复杂了，但变化后的形式为使用公式法创造了条件。
从上面的几道例题可以看出：第一，提公因式法和公式法在因式分解中具有重要的基础作用，它们是因式分解的最基本的方法；第二，因式分解时不都是简单运用基本方法就能解决问题的，有时需要灵活机动地使用基本方法，这就需要认真分析多项式的结构，必要时还需要先对多项式进行适当的式子变形。
4. 因式分解要进行到什么程度。
对于单纯的因式分解题目，一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解，例如，把因式分解时，得到，并未完全达到要求，还需要继续分解到。
在解决计算、化简、解方程等问题的过程中，当因式分解作为中间步骤时，应根据具体问题来决定分解到什么程度合适。
例4. 已知，计算。
解：。评注：上面解法中，因式分解只是中间步骤，只要分解到问题就解决了，继续分解反而不利于解决问题。
我们知道，代数式中的字母是数的抽象表示。因此，因式分解是在某种数的范围中进行的，对于不同的数的范围，对同一多项式的因式分解，要进行到的程度也可能有所不同。
例5. （1）在有理数范围内把因式分解；
2）在实数范围内把因式分解。
解：（1）；
评注：初中数学教科书中，如无特别声明，通常约定因式分解是在有理数范围内进行的。
5. 因式分解有什么用。
因式分解是多项式的分解变形，式子变形不是无意义的变来变去的数学游戏，而是解决数学问题的重要手段。在计算、化简、解方程等问题中，因式分解可以发挥重要作用。
例6. 计算。
分析：这是两个分式相减，它们的分母不同，正如异分母分数相加减一样，这里也需要先通分。分数的通分中，可以先分解因数，再确定最简公分母，例如：
类似地，分式的通分中，可以先分解因式，再确定最简公分母。
解： 例7. 解方程。
分析：这是一个一元二次方程。它的一边等于0，如果能将它的另一边分解为两个一次式的乘积，则可知当这两个因式中任何一个等于0时，乘积都等于0，于是可以得出方程的解。
解：原方程可化为，，分解因式，得到。所以。
总之，因式分解是针对多项式的一种分解变形，它是解决许多数学问题的一种重要手段。
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