18.2 勾股定理的逆定理。
1.如图所示，△abc中，若∠a=75°,∠c=45°,ab=2,则ac的长等于( )
a.2 b.2
c. d.
知识点：转化的数学思想、勾股定理。
知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
答案：c详细解答：作bc边上的高ad, abc中，∠bac=75°,∠c=45°，那么∠b=60°，从而∠bad=30°
在rt△abd中，∠bad=30°，ab=2,所以bd=1，ad=
在rt△acd中，∠c=45°，ad=,所以cd=ad=，利用勾股定理可得ac=。
1．已知：在rt△abc中，∠c=90°，cd⊥ab于d，∠a=60°，cd=，线段ab长为（ ）
a.2 b.3
c.4 d.3
答案：c分析：欲求ab，可由ab=bd+ad，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出bd和ad。或欲求ab，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出ac和bc。
详细解答：在rt△acd中，∠a=60°，那么∠acd=30°，又已知cd=,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出ad=1。
在rt△acb中，∠a=60°，那么∠b=30°。
在rt△bcd中，∠b=30°，又已知cd=,所以bc=2，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出bd=3。
因此ab=bd+cd=3+1=4，小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：
3个直角三角形，三个勾股定理及推导式bc2-bd2=ac2-ad2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
2．已知a，b，c为△abc三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，则它的形状为。
a．直角三角形b．等腰三角形
c．等腰直角三角形d．等腰三角形或直角三角形。
知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。
答案：d详细解答：∵ a2c2－b2c2=a4－b4，∴左右两边因式分解得。
∴或，即或，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。
2．若△abc的三边a，b，c满足(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，则△abc是（ ）
a）等腰三角形b）直角三角形
c）等腰直角三角形d）等腰三角形或直角三角形。
答案：c详细解答：∵(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，∴c-b =0且a2-b2-c2=0 即且，所以三角形的形状为等腰直角三角形。
3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
知识点：勾股定理的逆定理。
知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数等。
答案：c详细解答：a图和b图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。
d图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。只有c图中的两个三角形都是直角三角形。
3．在下列说法中是错误的（ ）
a．在△abc中，（为正整数，且），则△abc为直角三角形。
b．在△abc中，若∠a：∠b：∠c＝3：4：5，则△abc为直角三角形。
c．在△abc中，若，则△abc为直角三角形。
d．在△abc中，若a：b：c＝5：12：13，则△abc为直角三角形。
答案：b详细解答： 在△abc中，若∠a：∠b：∠c＝3：4：5，那么最大角∠c＝
不是直角三角形。
abc三条边的比为a:b:c＝5:
12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△abc是直角三角形．
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
a.两直线平行，同旁内角互补； b.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等。
c.对顶角相等d.如果a2=b2,那么a=b
知识点：互逆命题。
知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设，那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。
答案：c详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然这是一个假命题。
4．下列命题的逆命题成立的是（ ）
a）若a=b，则b）全等三角形的周长相等。
c）同角（或等角）的余角相等 （d）若a=0，则ab=0
答案：c详细解答：（a）的逆命题是：若，则a=b。不一定成立，也可能a=-b
b）的逆命题是：周长相等的三角形全等。不一定成立，两个三角形周长相等，形状不一定就相同。
d）的逆命题是：若ab=0，则a=0。不一定成立，也可能是b=0，而a≠0。
5．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口a出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口a出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（ ）
a.25海里 b.30海里
c.35海里 d.40海里。
知识点：勾股定理的实际应用题。
知识点的描述：求距离或某个长度是很常见的实际应用题，这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题，通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中，利用勾股定理求出线段的长度，从而解决实际问题。
答案：d详细解答：画出答题图，由题意知，三角形abc是直角三角形，ac=32海里，ab=24海里，根据勾股定理得bc2=ac2+ab2=322+242=1600，所以bc=40（海里）
5．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）
a． b． c． d．
答案：c详细解答：画出如图所示的木箱图，图中ad的长度就是能放入的细木条的最大长度，由题意知cb=5cm、ca=4cm、bd=3cm
在rt△acb中，ac和bc 是直角边，ab是斜边，ab2=ac2+cb2=41,在rt△adb中，ab和bd 是直角边，ad是斜边，ad2=ab2+bd2
41+9=50,所以ad=
6．如图，正方形网格中的△abc，若小方格边长为1，则△abc是（ ）
a．直角三角形 b．锐角三角形
c．钝角三角形 d．以上答案都不对。
知识点：网格问题，勾股定理和逆定理。
知识点的描述：网格问题是常见的问题，解决这种问题要充分的利用正方形网格。
勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
答案：a详细解答：把△abc的各边分别放在不同的直角三角形中，给出必须的点的名称，画出图形。
在rt△bcd中， cd=1，db=8，那么cb2=cd2+bd2=65，在rt△ace中， ae=2，ce=3，那么ac2=ae2+ce2=13，在rt△abf中， af=6，bf=4，那么ab2=af2+bf2=52，所以，在△abc中， ac2+ab2=13+52=65，又cb2=65，所以，ac2+ab2= cb2，根据勾股定理的逆定理可知三角形abc是直角三角形。
6．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积是 (
a.25b.12.5
c. 9d.8.5
答案：b详细解答：s四边形efgh =sabcd -s△def -s△cfg -s△bgh -s△aeh
7.如图，已知四边形abcd中，∠b=90°，ab=3，bc=4，cd=12，ad=13，求得四边形abcd的面积。（
a. 36b. 25
c. 24d. 30
知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用。
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
答案：a分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接ac，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△acd是直角三角形。
详细解答：连接ac，在rt△abc中，ac2=ab2＋bc2=32＋42=25， ∴ac=5.
在△acd中，∵ ac2＋cd2=25＋122=169，又∵ ad2=132=169， ac2＋cd2=ad2，∴ acd=90°．
故s四边形abcd=s△abc＋s△acd=ab·bc＋ac·cd
7．在四边形abcd中，ab＝2，bc＝，cd＝5，da＝4，∠b＝90°，那么四边形abcd的面积是( )
a. 10b.
c. d.
答案：b详细解答：连接ac，在rt△abc中，ab＝2，，bc＝
所以＝＋＝9
所以ac＝3
又因为， 所以。
所以∠cad＝90°
所以＝×2×＋×3×4＝
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