1、在△abc中，ab=ac，∠acb=∠abc，cg⊥ba交ba的延长线于点g．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为f，一条直角边与ac边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点b．
1）在图1中请你通过观察、测量bf与cg的长度，猜想并写出bf与cg满足的数量关系，然后证明你的猜想；
2）当三角尺沿ac方向平移到图2所在的位置时，一条直角边仍与ac边在同一直线上，另一条直角边交bc边于点d，过点d作de⊥ba于点e．此时请你通过观察、测量de、df与cg的长度，猜想并写出de、df与cg之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（提示：过点d作dh⊥cg，可得四边形edhg是长方形）
3）当三角尺在（2）的基础上沿ac方向继续平移到图3所示的位置（点f**段ac上，且点f与点c不重合）时，试猜想de，df与cg之间满足的数量关系．（不用说明理由）
图4图5解答：解：（1）bf=cg；
证明：在△abf和△acg中，∵∠f=∠g=90°，∠fab=∠gac，ab=ac，∴△abf≌△acg（aas），∴bf=cg；
2）de+df=cg；
证明：过点d作dh⊥cg于点h（如图）∵de⊥ba于点e，∠g=90°，dh⊥cg， ∴四边形edhg为矩形，∴de=hg，dh∥bg，∠gbc=∠hdc，∵ab=ac，∴∠fcd=∠gbc=∠hdc，又∵∠f=∠dhc=90°，cd=dc ∴△fdc≌△hcd（aas），∴df=ch，gh+ch=de+df=cg，即de+df=cg；
3）de+df=cg．
证明：过点d作dh⊥cg于点h（如图），∵de⊥ba于点e，∠g=90°，dh⊥cg，∴四边形edhg为矩形，∴de=hg，dh∥bg，∠gbc=∠hdc，∵ab=ac，∴∠fcd=∠gbc=∠hdc，又∵∠f=∠dhc=90°，cd=dc，∴△fdc≌△hcd（aas），∴df=ch，gh+ch=de+df=cg，即de+df=cg．
2、如图1，四边形abcd、defg都是正方形，连接ae、cg．
1）求证：ae=cg； （2）观察图形，猜想ae与cg之间的位置关系，并证明你的猜想；
3）将正方形abcd，绕点d逆时针旋转一定的角度（小于90度），如图2，请猜想ae与cg之间的关系，并证明你的猜想．
解：（1）由题意得ad=cd，ed=gd，∠ade=∠gdc=90° ∴根据sas可证△ead≌△gcd ∴ae=cg；
2）猜想：ae⊥cg；延长ea交cg于h， 由（1）得∠cgd+∠gah=∠cgd+∠ead=∠cgd+∠gcd=90° ∴ae⊥cg；
3）猜想：ae=cg；ae⊥cg．由题意得cd=ad，gd=ed，∠ade=90+∠gda=∠cdg∴△ead≌△gcd∴ae=cg，∠cgd=∠aed
∠aed+∠eod=90°，∴cgd+∠eod=90°，∵eod=∠goh，∴∠cgo+∠goh=∠cgo+∠eod=∠aed+∠eod=90°，∴ae⊥cg．
3.如图1，在△abc中，e为对角线ab上一点，以ae为一边作正方形aefh，点f在ac上，连接bf，g为bf中点，连接eg，cg．
1）求证：eg=cg；
2）将图1中正方形aefh绕a点逆时针旋转45°，如图2所示，取bf中点g，连接eg，cg．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
3）将图1中正方形aefh绕b点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
图4解：（1）证明：在rt△fcb中，∵g为bf的中点，∴cg=fb，同理，在rt△bef中，eg=fb，∴cg=eg．
2）（1）中结论仍然成立，即eg=cg 延长cg至m，使mg=cg，连接mf，me，ec，在△bcg与△fmg中，
fg=bg，∠mgf=∠cgb，mg=cg，∴△bcg≌△fmg．∴mf=cb，∠fmg=∠bcg，∴mf∥cb，∴ef⊥mf．
在rt△mfe与rt△cbe中，∵mf=ca，ef=ae，∴△mfe≌△cae ∴∠mef=∠cea．
∠mec=∠mef+∠fec=∠cea+∠cef=90°，∴mec为直角三角形．∵mg=cg，∴eg=mc，∴eg=cg．
3）（1）中的结论仍然成立．
4、如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ad=4，dc=5，bc=11，梯形的高为4，动点m从b点出发沿线段bc以每秒1个单位长度的速度向终点c运动；动点n同时从c点出发沿cda以每秒2单位长度的速度向终点a运动．若m，n两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．
1）t为何值时，四边形abmn为平行四边形； （2）t为何值时，四边形cdnm为等腰梯形．
题4 题5题6
解：（1）因为abmn为平行四边形，所以t大于等于2.5，bm=t，an=9﹣2t，当bm=an时为平行四边形 t=9﹣2t，t=3，t=3时，四边形abmn为平行四边形；
2）∵mc=11﹣t，dn=2t﹣5，因为高为4，所以mc=2x3+dn，即11﹣t=2x3+2t﹣5，t=， 故t=时，四边形cdnm为等腰梯形．
5、如图所示，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠a=90°，ab=12，bc=21，ad=16．动点p从点b出发，沿射线bc的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点q同时从点a出发，**段ad上以每秒1个单位长的速度向点d运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
1）当t为何值时，四边形pqcd的面积是梯形abcd的面积的一半；
2）四边形pqcd能为平行四边形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由．
3）四边形pqcd能为等腰梯形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由．
解：（1）由已知得：aq=t，qd=16﹣t，bp=2t，pc=21﹣2t，依题意，得解得；
2）能； 当四边形pqdc为平行四边形时，dq=pc，即16﹣t=21﹣2t 解得t=5；
3）不能； 作qe⊥bc，df⊥bc，垂足为e、f， 当四边形pqcd为等腰梯形时，pe=cf，即t﹣2t=21﹣16 解得t=﹣5，不合实际．
6.如图，矩形abcd中，ab=6，bc=2，点o是ab的中点，点p在ab的延长线上，且bp=3．一动点e从o点出发，以每秒1个单位长度的速度沿oa匀速运动，到达a点后，立即以原速度沿ao返回；另一动点f从p点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线pa匀速运动，点e、f同时出发，当两点相遇时停止运动，在点e、f的运动过程中，以ef为边作等边△efg，使△efg和矩形abcd在射线pa的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
1）当等边△efg的边fg恰好经过点c时，求运动时间t的值；
2）在整个运动过程中，设等边△efg和矩形abcd重叠部分的面积为s，请直接写出s与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
3）设eg与矩形abcd的对角线ac的交点为h，是否存在这样的t，使△aoh是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
1、如图所示，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠a=90°，ab=12，bc=21，ad=16．动点p从点b出发，沿射线bc的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点q同时从点a出发，**段ad上以每秒1个单位长的速度向点d运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
1）设△dpq的面积为s，求s与t之间的函数关系式； （2）当t为何值时，四边形pcdq是平行四边形？
3）分别求出当t为何值时，①pd=pq，②dq=pq．
题1 题2 题3
解：（1）直角梯形abcd中，ad∥bc，∠a=90°，bc=21，ab=12，ad=16， 依题意aq=t，bp=2t，则dq=16﹣t，pc=21﹣2t，过点p作pe⊥ad于e，则四边形adpe是矩形，pe=ab=12， ∴s△dpq=dqab=（16﹣t）×12=﹣6t+96．
2）当四边形pcdq是平行四边形时，pc=dq，∴21﹣2t=16﹣t解得：t=5，∴当t=5时，四边形pcdq是平行四边形．
3）∵ae=bp=2t，pe=ab=12，当pd=pq时，qe=ed=aq=t，∴ad=3t即16=3t，解得：t=，∴当t=时，pd=pq
当dq=pq时，dq2=pq2 ∴t2+122=（16﹣t）2解得：t= ∴当t=时，dq=pq
2.、如图，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠c=90°，bc=16，dc=12，ad=21，动点p从点d出发，沿射线da的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点q从点c出发，**段cb上以每秒1个单位长的速度向点b运动，p、q分别从点d、c同时出发，当点q运动到点b时，点p随之停止运动，设运动时间为t（s）．
1）设△bpq的面积为s，求s与t之间的函数关系； （2）当t为何值时，以b、p、q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
解：（1）过点p作pm⊥bc于m，则四边形pdcm为矩形．∴pm=dc=12，∵qb=16﹣t，∴s=qbpm=（16﹣t）×12=96﹣6t（0≤t≤16）．
2）由图可知，cm=pd=2t，cq=t，若以b、p、q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
若pq=bq，在rt△pmq中，pq2=t2+122，由pq2=bq2得t2+122=（16﹣t）2，解得；
若bp=bq，在rt△pmb中，pb2=（16﹣2t）2+122，由pb2=bq2得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，此方程无解，∴bp≠pq．
若pb=pq，由pb2=pq2得t2+122=（16﹣2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当或时，以b、p、q为顶点的三角形是等腰三角形．
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