2.2 二次函数的图像与性质。
一、 选择题
1. 抛物线 y ＝(x －2) 2 +3的顶点坐标是（ ）
a．(2,3) b．(－2,3) c．(2，－3) d．(－2，－3)
2. 把抛物线 y ＝－x 2 向右平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）
a． y ＝－x －1) 2 +3 b． y ＝－x +1) 2 +3 c． y ＝－x －1) 2 －3 d． y ＝－x +1) 2 －3
3. 已知二次函数 y ＝－x 2 + bx + c 中函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示，点 a ( x 1 ， y 1 )，b ( x 2 ， y 2 )在函数的图象上，当0＜ x 1 ＜1，2＜ x 2 ＜3时， y 1 与 y 2 的大小关系正确的是（ ）
a． y 1 ≥ y 2 b． y 1 ＞ y 2 c． y 1 ＜ y 2 d． y 1 ≤ y 2
4. 若把函数 y ＝ x 的图象用 e ( x ， x )表示，函数 y ＝2 x +1的图象用 e ( x, 2 x +1)表示，…，则 e ( x ， x 2 －2 x +1)可以由 e ( x ， x 2 )怎样平移得到（ ）
a．向上平移1个单位 b．向下平移1个单位
c．向左平移1个单位 d．向右平移1个单位
5. 下列抛物线中，开口最大的是（ ）
a． b． c． y ＝－x 2 d．
6. 抛物线的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
a．(1，2)，直线 x ＝1
b．(－1，2)，直线 x ＝－1
c．(－4，－5)，直线 x ＝－4
d．(4，－5)，直线 x ＝4
7. 二次函数 y ＝ x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数关系式是（ ）
a． y ＝ x 2 +3 b． y ＝ x 2 －3
c． y ＝(x +3) 2 d． y ＝(x －3) 2
8. 已知函数 y ＝－3 x 2 +1的图象是抛物线，若该抛物线不动，把 x 轴向上平移两个单位， y 轴向左平移一个单位，则该函数在新的直角坐标系内的函数关系式为（ ）
a． y ＝－3( x +1) 2 +2 b． y ＝－3( x －1) 2 －1
c． y ＝3( x +1) 2 +2 d． y ＝3( x －1) 2 －2
9. 在平面直角坐标系中，函数 y ＝－x +1与 y ＝ x －1) 2 的图象大致是（ ）
10. 二次函数 y ＝ ax 2 + bx + c 中， b 2 ＝ ac ，且 x ＝0时， y ＝－4，则（ ）
a． y 最大值 ＝－4 b． y 最小值 ＝－4
c． y 最大值 ＝－3 d． y 最小值 ＝－3
二、填空题
11. 将 y ＝2 x 2 －12 x －12变为 y ＝ a ( x － m ) 2 + n 的形式，则 m n
12. 当 x时，二次函数 y ＝ x 2 +2 x －2有最小值．
13. 抛物线 y ＝2 x 2 － bx +3的对称轴是直线 x ＝1，则 b 的值为。
14. 已知抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c ( a ＞0)的对称轴为直线 x ＝1，且经过点(－1， y 1 )，2， y 2 )，试比较 y 1 和 y 2 的大小： y 1y 2 (填“＞”或“＝”
15. 二次函数的一般式为若抛物线的顶点坐标为（h，k），则可设该抛物线的顶点式为若抛物线与x轴交于（x 1 ，0）、（x 2 ，0），则可设该抛物线的两点式为。
16. 抛物线y=ax 2 +bx+c的形状与y=2x 2 -4x-1相同，对称轴平行于y轴，且x=2时，y有最大值-5，该抛物线关系式为。
三、解答题
17. 已知反比例函数的图象经过点(－1,－2).
1）求 y 与 x 的函数关系式；
2）若点(2, n )在这个图象上，求 n 的值。
18.如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1） ；2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有（ ）
a．2个 b．3个 c．4个 d．1个
19.如图，已知a（a，m）、b（2a，n）是反比例函数y= （k＞0）与一次函数y=- x+b图象上的两个不同的交点，分别过a、b两点作x轴的垂线，垂足分别为c、d，连结oa、ob，若已知1≤a≤2，则求s △oab 的取值范围．
20.已知反比例函数和一次函数y=-x+a-1（a为常数）
1）当a＝5时，求反比例函数与一次函数的交点坐标（5分）
2）是否存在实数a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，求出实数a，如果不存在，说明理由（5分）
答案解析部分(共有 20 道题的解析及答案)
一、选择题。
1、a 点拨： 二次函数 y ＝ a ( x － h ) 2 + k ( a ≠0)的顶点坐标是( h ， k )．
2、c 点拨： 抛物线 y ＝－x 2 向右平移1个单位，得到 y ＝－x －1) 2 ，再下平移3个单位，得到 y ＝－x －1) 2 －3.
3、c 点拨： 由题中条件可知，该抛物线的对称轴是 x ＝2，且开口向下，∴当0＜ x 1 ＜1,2＜ x 2 ＜3时， y 1 ＜ y 2 .
4、d 点拨： 根据给出的新定义， e ( x ， x 2 －2 x +1)为函数 y ＝ x 2 －2 x +1的图象， e ( x ， x 2 )为函数 y ＝ x 2 的图象．因为 y ＝ x 2 －2 x +1＝( x －1) 2 ，因此只要把函数 y ＝ x 2 的图象向右平移1个单位就得到函数 y ＝ x 2 －2 x +1的图象．
5、d 点拨： 抛物线 y ＝ ax 2 ，|a |越小，抛物线的开口越大．
6、d 点拨： y ＝ x 2 －4 x +3＝ (x 2 －8 x )+3＝ (x －4) 2 －5．
7、d 点拨： 抛物线左右平移横坐标变化，而纵坐标不变，平移规律是“左加右减”．
8、b 点拨： 平移坐标轴相当于把图象反向平移．
9、d 点拨： 一次函数 y ＝－x +1中， b ＝1＞0，交于 y 轴的正半轴，排除a、b；二次函数的顶点坐标是(1，0)，由此可作出判断．
10、c 点拨： y ＝ ax 2 + bx + c 配方为 ，∵b 2 ＝ ac ，
．当 x ＝0时， y ＝ c ，即 c ＝－4．
．∵c ＜0， b 2 ≥0，∴ a ＜0．∴ y 有最大值是－3．
二、填空题。
点拨： 将 y ＝2 x 2 －12 x －12进行配方，得 y ＝2( x －3) 2 －30，所以 m ＝3， n ＝－30，所以 m n ＝－90.
点拨： 当 x ＝－1时，二次函数 y ＝ x 2 +2 x －2有最小值．
点拨： 由于－ ＝1，解得 b ＝4.
15、 解析： 一般情况下，若知道抛物线上的三点坐标，可设二次函数的一般式为y=ax 2 +bx+c；若知道顶点坐标（h，k）或对称轴x=h，可设顶点式y=a(x-h) 2 +k;若知道抛物线与x轴的两个交点坐标，可设两点式y=a(x-x 1 )(x-x 2 )，这样将比较简便。
答案： y=ax 2 +bx+c y=a(x-h) 2 +k y=a(x-x 1 )(x-x 2 )
16、 解析： 两个抛物线形状相同，二次系数相同或互为相反数。这里a=-2，又对称轴为x=2，y有最大值-5，即抛物线y=ax 2 +bx+c与y=2x 2 -4x-1形状相同，
a=±2.
又∵二次函数有最大值，∴a=-2.
y=-2(x-2) 2 -5=-2(x 2 -4x+4)-5=-2x 2 +8x-13.故解析式为y=-2(x-2) 2 -5.
答案： y=-2(x-2) 2 -5
三、解答题。
18、 【答案】a
解析】解： 观察图像：函数与x轴有两个交点，所以（1） 正确；函数与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，所以0＜c＜1，故（2）c>1错误；由函数的对称轴 ，而 ，所以 ，所以（3）2a－b<0正确；当时，函数y的值为 ，观察图像可知：
，所以（4）a+b+c<0错误。故选a。
19、 【答案】2≤s △oab ≤8．
解析】 试题分析：先根据函数图象上点的坐标特征得出m= ，n= ，a+b， =a+b，于是k= a 2 ，再由反比例函数系数k的几何意义可知s △oac =s △obd ，那么s △oab =s △oac -s △obd +s 梯形abdc =s 梯形abdc =2a 2 ，根据二次函数的性质即可求解．
试题解析：∵a（a，m）、b（2a，n）在反比例函数y= （k＞0）的图象上，
m= ，n= ，
a（a，m）、b（2a，n）在一次函数y=- x+b图象上，
=-a+b， =a+b，
解得：k= a 2 ，
s △oab =s △oac -s △obd +s 梯形abdc
s 梯形abdc
（ 2a-a）
× a k
× a 2
2a 2 ．
当1≤a≤2时，s △oab =2a 2 ，随自变量的增大而增大，此时2≤s △oab ≤8．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
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