二次函数中考复习专题。
教学目标。教学重点。
二次函数的三种解析式形式。
二次函数的图像与性质。
教学难点。 二次函数与其他函数共存问题。
根据二次函数图像，确定解析式系数符号。
根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题。
教学过程。一、 数学知识及要求层次。
二、 近年二次函数考题及分值分布情况。
纵观近两年调考，样卷及中考试卷，可以发现中考中二次函数的题型有如下一些特点：
1、 综合性强。初中阶段所有的知识点几乎都可以与二次函数联系起来，特别是与一元二次方程，几何图形、实际问题的联系更紧密些。
2、 分值较重。从07年到08年，二次函数的分值逐年加大。
3、 覆盖面广。二次函数的图象性质在调考、样题、中考中都出现了。
三、 二次函数知识点。
1. 二次函数的解析式三种形式。
一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0)
顶点式 交点式
2. 二次函数图像与性质。
对称轴： 顶点坐标：
与y轴交点坐标（0，c）
增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大。
当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。
二次函数图像画法：
勾画草图关键点：开口方向对称轴顶点与x轴交点与y轴交点。
图像平移步骤。
1）配方 ，确定顶点（h,k）
2）对x轴左加右减；对y轴上加下减。
二次函数的对称性。
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等那么对称轴。
根据图像判断a,b,c的符号。
1）a ——开口方向
2）b ——对称轴与a 左同右异。
3.二次函数与一元二次方程的关系。
抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。
抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0
0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；
0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；
0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。
3. 二次函数的应用。
如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等。
典型例题】题型 1 二次函数的概念。
例1（基础）.二次函数的图像的顶点坐标是（ ）
a．（-1，8） b.（1，8） c（-1，2） d（1，-4）
点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式。
例2.（拓展，2023年武汉市中考题，12）
下列命题中正确的是。
若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3
若b2－4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
当c=－5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点a、b，与y轴交于c点，c=4，s△abc=6，则抛物线解析式为y=x2－5x+4。
若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。
若a－b+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）必过一定点。
若b2＜3ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。
若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。
若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。
点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数a、b、c对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。
题型2 二次函数的性质。
例3 若二次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）
a．y1 y2 d.不确定。
点拨：本题可用两种解法
解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y随x的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大。
解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a，b的值再把横坐标值代入求出y1 与y2 的值，进而比较它们的大小。
举一反三】变式1：已知二次函数上两点，试比较的大小。
变式2：已知二次函数上两点，试比较的大小。
变式3：已知二次函数的图像与的图像关于y轴对称，是前者图像上的两点，试比较的大小。
题型3 二次函数的图像。
例4 如图所示，正方形abcd的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形abcd的顶点上，且它们的各边与正方形abcd各边平行或垂直，若小正方形的边长为x，且0题型4 二次函数图像性质（共存问题、符号问题）
例5、（2009湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
点拨：本题考查函数图象与性质，当时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，d是错的，函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象必过（0，1），所以c是正确的，故选c．
例6 已知=次函数y＝ax+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c， 2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（ ）
a．2b 3c、4d、5
点拨：本题考查二次函数图像性质，a的符号由开口方向确定，b的符号由对称轴和a共同决定，c看其与y轴的交点坐标，a+b+c，4a－2b+c看x取某个特殊值时y的值可从图像中直观发现。
题型5 二次函数的平移。
例7.将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
a． b． c． d．
题型6 二次函数应用销售利润类问题。
例8 某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x元（x为10的正整数倍），每周销售量为y件 。
求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。
如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？
点拨：销售总利润=销售量×(售价-进价) 本类题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。复习时注意，自变量的取值限制条件：
如正整数倍，非负整数倍，自然数倍，2的整数倍等条件的限制。
题型7 二次函数与几何图形综合(面积、动点)
例9 已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．
1）求二次函数的解析式；
2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；
3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
图2点拨：本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。面广，知识综合性强。
复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到图形运动过程中的特殊位置。
基础达标训练】
一、选择题。
1. (2023年四川省内江市)抛物线的顶点坐标是（ ）
a．（2，3） b．（－2，3） c．（2，－3） d．（－2，－3）
2.（2023年桂林市、百色市）二次函数的最小值是（ ）
a．2 b．1 c．－3 d．
3.(2023年上海市)抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）
a． b． c． d．
4.(2023年陕西省)根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴。
a．只有一个交点。
b．有两个交点，且它们分别在y轴两侧。
c．有两个交点，且它们均在y轴同侧。
人教版九年级数学二次函数
22.1.1 二次函数 学习目标 了解二次函数的有关概念 会确定二次函数关系式中各项的系数 确定实际问题中二次函数的关系式。学习重点 二次函数的表达式。学习难点 二次函数的判断。读书思考 阅读课本第27 29页的内容，思考 1.什么是二次函数，二次函数在课本上是从形式上定义的，特别要注意二次项系数不...
九年级数学下册第二章二次函数课题二次函数的图象
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九年级数学二次函数 16 二次函数复习
第周星期班别姓名学号 一 填空。1 若二次函数y m 1 x2 m2 2m 3的图象经过原点，则m 2 函数y 3x2与直线y kx 3的交点为 2，b 则k b 3 抛物线y x 1 2 2可以由抛物线y x2向 方向平移 个单位，再向 方向平移 个单位得到。4 把y x2 x 化为y a x h...