《平面图形的周长和面积》课堂实录。
教学过程：一、引入课题，明确周长和面积的意义：
师：同学们上节课我们复习了平面图形的特征，到目前为止我们学习了哪些平面图形？
生：长方形、正方形、平行四边形、梯形和圆形。
课件出示六个平面图形）
师：什么是平面图形的周长和面积呢？
生：围成一个图形的所有边长的总和，叫作它们的周长。
生：物体的表面或围成平面图形的大小，叫做它们的面积。
师：我们一起来回顾一下。（课件出示周长和面积的意义）
生：（齐读）
师：那我们今天就一起来复习平面图形的周长和面积。（指板书）
二、复习回顾平面图形周长和面积的计算公式：
1、明确任务：
师：刚才大家所说的就是周长和面积的意义，（板书：意义）
课前老师给大家布置了三个任务，一起来回顾一下是哪三个任务，课件出示：1、整理复习平面图形的周长和面积的计算公式。2、整理复习平面图形面积公式的推导过程。
3、根据面积公式的推导过程，梳理它们之间的关系。）
2、复习计算公式：
师：我们先来看第一个任务，哪位同学把整理的平面图形的计算公式给大家介绍一下？
生：大家看，这是我整理出来的周长公式和面积公式， 先一起来看周长公式吧。
长方形的周长=（长+宽）×2，用字母表示是c=2 (a+b)，正方形的周长=边长×4 ，用字母表示是c=4a，圆的周长=圆周率×直径=2×圆周率×半径，用字母表示是c=лd 或 c=2лr，然后再让我们一起来看面积公式吧，长方形的面积=长×宽，用字母表示是 s=ab，正方形的面积=边长×边长，用字母表示是s=a2,，平行四边形的面积=底长×高，用字母表示是s=ah，三角形的面积=底长×高÷2，用字母表示是s=ah÷2，梯形的面积=（上底长下底长）×高÷2，用字母表示是s=(a+b) h÷2，圆的面积=л×半径×半径，用字母表示是s=л×r2
大家和我整理的一样吗？
生：一样。生：那我们在用这些公式计算周长面积时应注意哪些问题呢？
生1：我觉得有两点，第一点是在计算周长时应用长度单位，计算面积时应用面积单位，第二点是计算三角形和平行四边形面积时注意底、高相对应。
生：说得非常好，还有其他的吗？
生2：在计算梯形和三角形面积时别忘了除以2.
生3：我发现你整理的有一个问题，平行四边形和三角形的面积公式是底×高，底×高÷2，不是长×高。
师：我刚才也注意到这个细节了，什么时候是“长”？
生：长方形。
师：平行四边形和三角形称为“底”。
大家的掌声说明张思雨整理的公式对大家是非常有帮助的，并且提出了需要注意的问题，我们在解决问题时，需要把注意的这些问题融入到实际情况之中。
三、复习面积公式的推导过程：
师：刚才张思雨带领我们复习了周长和面积的计算方法，（板书：计算方法）那这些平面图形的面积公式又是如何推导出来的呢？（课件出示：第二个任务）下面请同学们在小组内互相说一说。
生：小组活动……
师：哪个小组带领大家复习一下？
组：大家看这是一个平行四边形，沿平行四边形的高剪下，是一个三角形，把三角形移到右边来，拼成了一个长方形， 长方形的面积和平行四边形的面积相等，因为我们学过长方形的面积是长乘宽，所以我用长方形的面积来推导平行四边形的面积，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，因为长方形的面积是长乘宽，所以平行四边形的面积是底乘高。大家还有问题吗？
生：能拼成长方形，还能拼成什么图形呢？
组：还能拼成正方形。
生：在什么情况下能拼成正方形？
组：当平行四边形的底和高相等时，可以拼成正方形。
师：我们把他拼成正方形，不仅仅是为了拼，而是借助正方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式。
组：大家看，我用两个完全一样的三角形，拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是三角形面积的两倍，因为我们学过平行四边形的面积怎么求，所以用平行四边形的面积来推导三角形的面积。平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，因为平行四边形的面积是底乘高，所以三角形的面积是底乘高除以2，大家还有什么问题吗？
生：拼成平行四边形的面积和三角形面积有什么关系吗？
组：拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。
生：除了可以拼成长方形，还可以拼成什么图形？
组：还可以拼成长方形和正方形。
生：在什么情况下可以拼成长方形和正方形？
组：当至两个完全一样的直角三角形时，可以拼成长方形，当你是两个完全一样的等腰直角三角形时，可以拼成正方形。所以也可以借助长方形和正方形来推导三角形的面积怎么求。
生：为什么最后要除以2呢？
组：因为拼成的平行四边形的面积是三角形面积的两倍。
师：大家千万别忘了要除以2，他在提醒大家这一点。
生：两个面积一样，但周长不一样的三角形，可以拼成一个平行四边形吗？
师：你的问题就是说，不完全一样的两个三角形可以拼成平行四边形吗？
组：不能，因为我们一开始说了，需要两个完全一样的三角形。
师：我这里有不一样的三角形，大家看看能拼吗？
生：不能。师：既然不能就不能借助他的面积来推导三角形的面积公式了。
刚才李胜康问可以拼成其他图形吗？ 他们组桌可以拼成长方形或正方形，光说了，没有展示，大家看这里，这两个三角形完全一样吗？（完全一样），经你目测是什么图形？
（直角等腰三角形）可以拼成什么图形？（正方形）那是不是可以借助正方形的面积来推导三角形的面积？你们组现在迅速拼一下长方形。
组：大家看这是两个完全一样的梯形，拼成一个平行四边形，它的面积是梯形面积的2倍，平行四边形的底等于梯形的上底加下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，因为平行四边形的面积是底乘高，所以梯形的面积是上底加下底的和乘高除以2，大家还有问题吗？
生：除了可以拼成平行四边形进行推导，还可以拼成什么图形进行推导？
组：还可以拼成长方形或正方形。
生：在什么情况下拼成长方形或正方形呢？
组：在是直角梯形的情况下，可以拼成长方形，在上底和下底的和等于高的时候可以拼成正方形。
师：是不是这种情况？两个完全一样的直角梯形，拼成长方形。什么情况下拼成正方形？你能把你的想法再说一说吗？
组：在上底和下底的和等于高的时候可以拼成正方形。
师：是不是这种情况？（展示）
组：大家看我手中的这个图形，是将一个圆等分成若干等分，拼成了一个近似的平行四边形，平行四边形的底是圆的周长的一半，平行四边形的高是圆的半径，因为平行四边形的面积是底乘高，所以圆的面积是圆的周长的一半乘半径，也就是圆周率乘半径的平方。大家还有问题吗？
生：为什么周长的一半乘半径，可以用圆周率成半径的平方。
组：因为周长用лd表示，而d=2r，所以用s=л×r2表示圆的面积。
生：我也有一种想法，周长除了可以用лd表示，还可以用2лr表示，所以周长的一半，就是2лr÷2，再乘r，就是л×r2。
师：大家觉得他俩的推导过程哪一个更清晰？（第二个）
生：把这个圆分的分数更多一些，可以拼成正方形吗？
组：不能，因为底是圆周长的一半，也就是лr，而高是r，底是高的3.14倍，所以不能拼成正方形。
师：拼成的图形的底是半径的л倍，所以不能拼成正方形。
师：他们讲的好不好，掌声表示感谢。
四、梳理图形间的关系：
师：从他们组的介绍当中，有没有发现他们的推导过程体现着图像间的内在联系，课前还要求同学们根据面积公式的推导过程梳理了它们之间的关系，（课件出示：第三个任务）小组内再互相的说一说，根据他们的介绍可以进一步进行补充。
生：……小组活动，梳理框架图，重点说根据什么这样梳理？）
师：哪个小组把你们的想法给大家说一说？
生：这是我们组根据面积公式的推导过程梳理的关系图，正方形的面积是根据长方形的面积推导出来的，平行四边形的面积是根据长方形或正方形的面积推导出来的，三角形和梯形、圆形的面积是根据平行四边形的面积推导出来的，大家还有其他意见吗？
生：我来补充一下，三角形和梯形还可以用长方形和正方形的面积来推导，而圆形分的份数够多，还可以拼成长方形，用长方形来进行推导。
师：刚才大家所说的，都是根据刚才推导过程中的发现。这样我们就可以将关系图进一步明确。（借助黑板上的模型梳理关系图）
师：同学们的表现太棒了，让我们用掌声感谢他们的精彩发言。
五、公式的统一：
师：刚才我们结合推倒过程梳理了图形间的关系，不知道大家注意到了没有，这些平面图形中，除了由曲线围成的圆以外，剩下的五个图形的面积公式可不可以统一成一种图形的面积公式呢？
生：（独立思考）
师：谁来说说你的想法？
生1：长方形，因为正方形是一个特殊的长方形，可以用长方形的面积公式，而平行四边形沿高剪下，可以拼成一个长方形，而三角形与梯形虽然说要除以2，单也可以变成长方形。
生2：平行四边形的面积。
师：刚才两位同学是对的，因为他们都说出了自己的想法。但我也有我自己的想法大家想知道吗？
（课件）大家仔细观察，这是什么图形？（梯形）看发生了什么变化？（变成三角形了）也就是说变成了一个上底为（0）的特殊的梯形，在仔细观察发生什么变化？
（长方形），现在变成了一个上底和下底相等的特殊梯形，那这个呢？（平行四边形）。
现在你再想想可以统一成那个图形的公式呢？
生：梯形。师：我们再想一想，因为三角形可以看成是上底为0的梯形。
s=(a+a)b÷2
2ab÷2ab
s=(a+0)b÷2
ab÷2师：面积公式可以统一成梯形面积的公式，这恐怕是大家没有想到的。看来平面图形的周长和面积中蕴含着丰富的知识等待着我们去发现。
六、巩固练习：
1、师：请大家仔细看这两**形，认真审题，每组中的两个图形的周长和面积相等吗？（课件）
师：有想法了吗？谁来说一说？
生1：第一幅图我认为面积相等。周长不等。因为平行四边形沿高剪下，拼成一个长方形，长方形的面积和平行四边形的面积相等，这条边是斜的，所以他们的周长不相等，这是我的想法。
生2：我觉得他们的周长应该是相等的，生3：我同意刘润瑜的观点，斜线是最长的。
师：他注意到了这一条边，你注意到了吗？我们一起来看一下（课件）那条长？
在直角三角形中斜边是最长的，而面积呢？（相等）刚才这几问同学都是想把平行四边形转化为长方形，我们还可不可以用最近本的求面积的方法，数方格，我们一起来数一下，他的长是（6），宽是(3)，面积是(18)，平行四边形的底是(6)，高是(3)，面积是(18)，相等吗？（相等）那第二幅图呢？
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