《平面图形的周长和面积》课堂实录。
教学过程:一、引入课题,明确周长和面积的意义:
师:同学们上节课我们复习了平面图形的特征,到目前为止我们学习了哪些平面图形?
生:长方形、正方形、平行四边形、梯形和圆形。
课件出示六个平面图形)
师:什么是平面图形的周长和面积呢?
生:围成一个图形的所有边长的总和,叫作它们的周长。
生:物体的表面或围成平面图形的大小,叫做它们的面积。
师:我们一起来回顾一下。(课件出示周长和面积的意义)
生:(齐读)
师:那我们今天就一起来复习平面图形的周长和面积。(指板书)
二、复习回顾平面图形周长和面积的计算公式:
1、明确任务:
师:刚才大家所说的就是周长和面积的意义,(板书:意义)
课前老师给大家布置了三个任务,一起来回顾一下是哪三个任务,课件出示:1、整理复习平面图形的周长和面积的计算公式。2、整理复习平面图形面积公式的推导过程。
3、根据面积公式的推导过程,梳理它们之间的关系。)
2、复习计算公式:
师:我们先来看第一个任务,哪位同学把整理的平面图形的计算公式给大家介绍一下?
生:大家看,这是我整理出来的周长公式和面积公式, 先一起来看周长公式吧。
长方形的周长=(长+宽)×2,用字母表示是c=2 (a+b),正方形的周长=边长×4 ,用字母表示是c=4a,圆的周长=圆周率×直径=2×圆周率×半径,用字母表示是c=лd 或 c=2лr,然后再让我们一起来看面积公式吧,长方形的面积=长×宽,用字母表示是 s=ab,正方形的面积=边长×边长,用字母表示是s=a2,,平行四边形的面积=底长×高,用字母表示是s=ah,三角形的面积=底长×高÷2,用字母表示是s=ah÷2,梯形的面积=(上底长下底长)×高÷2,用字母表示是s=(a+b) h÷2,圆的面积=л×半径×半径,用字母表示是s=л×r2
大家和我整理的一样吗?
生:一样。生:那我们在用这些公式计算周长面积时应注意哪些问题呢?
生1:我觉得有两点,第一点是在计算周长时应用长度单位,计算面积时应用面积单位,第二点是计算三角形和平行四边形面积时注意底、高相对应。
生:说得非常好,还有其他的吗?
生2:在计算梯形和三角形面积时别忘了除以2.
生3:我发现你整理的有一个问题,平行四边形和三角形的面积公式是底×高,底×高÷2,不是长×高。
师:我刚才也注意到这个细节了,什么时候是“长”?
生:长方形。
师:平行四边形和三角形称为“底”。
大家的掌声说明张思雨整理的公式对大家是非常有帮助的,并且提出了需要注意的问题,我们在解决问题时,需要把注意的这些问题融入到实际情况之中。
三、复习面积公式的推导过程:
师:刚才张思雨带领我们复习了周长和面积的计算方法,(板书:计算方法)那这些平面图形的面积公式又是如何推导出来的呢?(课件出示:第二个任务)下面请同学们在小组内互相说一说。
生:小组活动……
师:哪个小组带领大家复习一下?
组:大家看这是一个平行四边形,沿平行四边形的高剪下,是一个三角形,把三角形移到右边来,拼成了一个长方形, 长方形的面积和平行四边形的面积相等,因为我们学过长方形的面积是长乘宽,所以我用长方形的面积来推导平行四边形的面积,长方形的长等于平行四边形的底,长方形的宽等于平行四边形的高,因为长方形的面积是长乘宽,所以平行四边形的面积是底乘高。大家还有问题吗?
生:能拼成长方形,还能拼成什么图形呢?
组:还能拼成正方形。
生:在什么情况下能拼成正方形?
组:当平行四边形的底和高相等时,可以拼成正方形。
师:我们把他拼成正方形,不仅仅是为了拼,而是借助正方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式。
组:大家看,我用两个完全一样的三角形,拼成一个平行四边形,平行四边形的面积是三角形面积的两倍,因为我们学过平行四边形的面积怎么求,所以用平行四边形的面积来推导三角形的面积。平行四边形的底等于三角形的底,平行四边形的高等于三角形的高,因为平行四边形的面积是底乘高,所以三角形的面积是底乘高除以2,大家还有什么问题吗?
生:拼成平行四边形的面积和三角形面积有什么关系吗?
组:拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。
生:除了可以拼成长方形,还可以拼成什么图形?
组:还可以拼成长方形和正方形。
生:在什么情况下可以拼成长方形和正方形?
组:当至两个完全一样的直角三角形时,可以拼成长方形,当你是两个完全一样的等腰直角三角形时,可以拼成正方形。所以也可以借助长方形和正方形来推导三角形的面积怎么求。
生:为什么最后要除以2呢?
组:因为拼成的平行四边形的面积是三角形面积的两倍。
师:大家千万别忘了要除以2,他在提醒大家这一点。
生:两个面积一样,但周长不一样的三角形,可以拼成一个平行四边形吗?
师:你的问题就是说,不完全一样的两个三角形可以拼成平行四边形吗?
组:不能,因为我们一开始说了,需要两个完全一样的三角形。
师:我这里有不一样的三角形,大家看看能拼吗?
生:不能。师:既然不能就不能借助他的面积来推导三角形的面积公式了。
刚才李胜康问可以拼成其他图形吗? 他们组桌可以拼成长方形或正方形,光说了,没有展示,大家看这里,这两个三角形完全一样吗?(完全一样),经你目测是什么图形?
(直角等腰三角形)可以拼成什么图形?(正方形)那是不是可以借助正方形的面积来推导三角形的面积?你们组现在迅速拼一下长方形。
组:大家看这是两个完全一样的梯形,拼成一个平行四边形,它的面积是梯形面积的2倍,平行四边形的底等于梯形的上底加下底的和,平行四边形的高等于梯形的高,因为平行四边形的面积是底乘高,所以梯形的面积是上底加下底的和乘高除以2,大家还有问题吗?
生:除了可以拼成平行四边形进行推导,还可以拼成什么图形进行推导?
组:还可以拼成长方形或正方形。
生:在什么情况下拼成长方形或正方形呢?
组:在是直角梯形的情况下,可以拼成长方形,在上底和下底的和等于高的时候可以拼成正方形。
师:是不是这种情况?两个完全一样的直角梯形,拼成长方形。什么情况下拼成正方形?你能把你的想法再说一说吗?
组:在上底和下底的和等于高的时候可以拼成正方形。
师:是不是这种情况?(展示)
组:大家看我手中的这个图形,是将一个圆等分成若干等分,拼成了一个近似的平行四边形,平行四边形的底是圆的周长的一半,平行四边形的高是圆的半径,因为平行四边形的面积是底乘高,所以圆的面积是圆的周长的一半乘半径,也就是圆周率乘半径的平方。大家还有问题吗?
生:为什么周长的一半乘半径,可以用圆周率成半径的平方。
组:因为周长用лd表示,而d=2r,所以用s=л×r2表示圆的面积。
生:我也有一种想法,周长除了可以用лd表示,还可以用2лr表示,所以周长的一半,就是2лr÷2,再乘r,就是л×r2。
师:大家觉得他俩的推导过程哪一个更清晰?(第二个)
生:把这个圆分的分数更多一些,可以拼成正方形吗?
组:不能,因为底是圆周长的一半,也就是лr,而高是r,底是高的3.14倍,所以不能拼成正方形。
师:拼成的图形的底是半径的л倍,所以不能拼成正方形。
师:他们讲的好不好,掌声表示感谢。
四、梳理图形间的关系:
师:从他们组的介绍当中,有没有发现他们的推导过程体现着图像间的内在联系,课前还要求同学们根据面积公式的推导过程梳理了它们之间的关系,(课件出示:第三个任务)小组内再互相的说一说,根据他们的介绍可以进一步进行补充。
生:……小组活动,梳理框架图,重点说根据什么这样梳理?)
师:哪个小组把你们的想法给大家说一说?
生:这是我们组根据面积公式的推导过程梳理的关系图,正方形的面积是根据长方形的面积推导出来的,平行四边形的面积是根据长方形或正方形的面积推导出来的,三角形和梯形、圆形的面积是根据平行四边形的面积推导出来的,大家还有其他意见吗?
生:我来补充一下,三角形和梯形还可以用长方形和正方形的面积来推导,而圆形分的份数够多,还可以拼成长方形,用长方形来进行推导。
师:刚才大家所说的,都是根据刚才推导过程中的发现。这样我们就可以将关系图进一步明确。(借助黑板上的模型梳理关系图)
师:同学们的表现太棒了,让我们用掌声感谢他们的精彩发言。
五、公式的统一:
师:刚才我们结合推倒过程梳理了图形间的关系,不知道大家注意到了没有,这些平面图形中,除了由曲线围成的圆以外,剩下的五个图形的面积公式可不可以统一成一种图形的面积公式呢?
生:(独立思考)
师:谁来说说你的想法?
生1:长方形,因为正方形是一个特殊的长方形,可以用长方形的面积公式,而平行四边形沿高剪下,可以拼成一个长方形,而三角形与梯形虽然说要除以2,单也可以变成长方形。
生2:平行四边形的面积。
师:刚才两位同学是对的,因为他们都说出了自己的想法。但我也有我自己的想法大家想知道吗?
(课件)大家仔细观察,这是什么图形?(梯形)看发生了什么变化?(变成三角形了)也就是说变成了一个上底为(0)的特殊的梯形,在仔细观察发生什么变化?
(长方形),现在变成了一个上底和下底相等的特殊梯形,那这个呢?(平行四边形)。
现在你再想想可以统一成那个图形的公式呢?
生:梯形。师:我们再想一想,因为三角形可以看成是上底为0的梯形。
s=(a+a)b÷2
2ab÷2ab
s=(a+0)b÷2
ab÷2师:面积公式可以统一成梯形面积的公式,这恐怕是大家没有想到的。看来平面图形的周长和面积中蕴含着丰富的知识等待着我们去发现。
六、巩固练习:
1、师:请大家仔细看这两**形,认真审题,每组中的两个图形的周长和面积相等吗?(课件)
师:有想法了吗?谁来说一说?
生1:第一幅图我认为面积相等。周长不等。因为平行四边形沿高剪下,拼成一个长方形,长方形的面积和平行四边形的面积相等,这条边是斜的,所以他们的周长不相等,这是我的想法。
生2:我觉得他们的周长应该是相等的,生3:我同意刘润瑜的观点,斜线是最长的。
师:他注意到了这一条边,你注意到了吗?我们一起来看一下(课件)那条长?
在直角三角形中斜边是最长的,而面积呢?(相等)刚才这几问同学都是想把平行四边形转化为长方形,我们还可不可以用最近本的求面积的方法,数方格,我们一起来数一下,他的长是(6),宽是(3),面积是(18),平行四边形的底是(6),高是(3),面积是(18),相等吗?(相等)那第二幅图呢?
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