上海交通大学2006～2007学年第一学期。
复变函数b试题(2006/12/31) （a卷）
学号姓名成绩。
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一、 填空题（每空3分，共24分）
1. 设，求2πi－12π .
2. 在下列函数中res = 0 的是 ( c)
ab、 cd、
3. 将区域保角地映射成。
区域（ b ）
ab、;cd、。
4. 函数的奇点有 z=2kπi,z=1,z=∞ 它们的奇点类型分别是。
z=2kπi 1阶极点z=1，本性奇点z=∞ 非孤立奇点（极点要指出其级， 无穷远点也要讨论）.
6. 根据儒歇定理，方程（1）;
2）在|z|<1内根的个数分别为___51___
7. 幂级数的收敛半径。
二 、证明与计算（1～4任选2题， 每题8分，共16分）
1. 叙述并证明唯一性定理。
解答：唯一性定理：设f1(z)和f2(z)在区域d内解析。d内有一收敛于a∈d的点列，在其上f1(z)=f2(z),则在d内f1(z)≡f2(z)
证明：先设f(x)＝f1(z)－f2(z)，，并设其不恒为0，，取其一零点，则由零点的孤立性可得到矛盾，从而假设不成立。
2. 叙述至少三个刻画解析函数等价的定理，并选其中一个予以证明。
解答：函数f(z) =u(x; y) +iv(x; y)在区域d内解析的充要条件是，u(x; y)与v(x; y)在区域d内可微且满足c-r方程：
对于单连通区域的连续函数来说，“解析”等价于“积分与路径无关”.
在区域d的任何一点的邻域内，可以展开为泰勒级数。
3. 如果在扩充复平面除了有限各奇点外，在每一个点解析，那么函数在所有奇点上的留数（包括无穷远点的留数）之和为零。
解答：证明除∞点外， 设f(z)的有限个奇点为zk(k = 1; 2;…;n), 且c为一条绕原点的并将zk(k = 1; 2;…;n)包含在它内部的正向简单闭曲线。 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义，有。
4. 用两种方法（liouville定理、rouche定理）证明代数学基本定理。
解答：liouville定理：全平面有界的解析函数必为常数。
下面用liouville定理证明代数学基本定理：任意复系数多项式。
在复平面内必有零点。
证明。反证。 假设p(z)在复平面内无零点， 故1/p(z)在全平面解析。
因为所以存在充分大的r, 当|z| >r时， 有又因在|z| 命题得证。 rouche定理：设是域d内的闭路， 其内部都属于d, 若函数f(z)及g(z)在域d内解析， 在上满足条件|f(z) -g(z)| f(z); 则f(z)和g(z)在内部有相同的零点个数。 下面用rouche定理证明代数学基本定理： 证明因为所以存在r > 0, 使得当时，且内没有的零点。 又由可知， 所以存在充分大的正数r, 使得当|z|=r时，有，即，|z|=r 由rouche定理知，p(z)和在圆|z| 5～10 任选5题，每题12分，共60分） 5. 函数的各解析分支在各有怎样的孤立奇点？无穷远点是各解析分支的什么点？求它们在这些点的留数； 解答：z=1时：lnz＝ln|z|＋iargz＝i*2kπ，k∈z 当k=0时，z=1为可去奇点，留数为0 当k≠0时，z=1为一阶极点，留数为ikπ z=－1时，lnz＝ln|z|＋iargz＝i*（2kπ+πk∈z 因此z=－1为一阶极点，留数为。 无穷远点为可去奇点。 6. 求积分：（1）;（2）, 0解答： 从而。2）因为0 < a < 1, 被积函数的分母在内不为零， 故积分是有意义的。 易知。 在|z|=1内有极点a，为1阶。 因此。7. 试证方程在内只有一个根，且为实根。 解答：证明： 原方程化为a － z － e－z = 0 (a > 1). 取为半圆圆周：x = 0; 及|z| =r ; 设f(z) =a - z;, 在上，, 即|(a - z) -a - z – e-z)| e-z |,所以在内，原方程与a - z = 0的根的个数相同，为一个。 因r可以任意大，所以原方程在右半平面有唯一的一个根。 由微积分易知，这个根是实的。 8. 求一个分式线性变换，它将圆盘映为右半平面，并且使得。 解答：1) 做变换，它将圆盘|z| <2映为圆盘|z| <1，2) 已知将上半平面im z2 > 0映为圆盘|z1| <1的分式线性变换为于是。 3) 做变换z3=－iz2，将上半平面映为右半平面。 综上。由题设f(0) =1, 解得，此时。 由解得于是所求的分式线性变换为。 9. 计算，其中c是不经过点1与 -1的任意简单闭曲线。 解答：由于被积函数在复平面内有两个奇点1和－1, 则积分应分为4种情况： 1) c的内部不包括1和－1, 则由柯西积分定理， i1 = 0; 2) c的内部包括-1, 但不包括1. 此时， 由柯西积分公式。 3) c的内部包括1, 但不包括－1. 由柯西积分公式。 4) c的内部包括1和－1. 则。 10. 设在内解析的函数有泰勒展式。 试证：（1）令，我们有（柯西不等式），在这里。 2）由(1)证明liouville定理； 3）当时。 解答： 1）利用n阶导数的柯西公式来证明。 2）利用f’(x)的柯西公式展开式得到。 3）利用平均值公式。 上海交通大学2006 2007学年第一学期。复变函数 b 试题 2007年01月03日 学号姓名成绩。emailtel 一 填空题 每空3分，共24分 1.设函数c 则。2.在下列函数中res 0 的是 ab cd 3.设函数，其中 的正向圆周，则。的值是。4.若函数的laurent级数为，则其收敛... 一 单项选择题。1 包含了单位圆面的区域是。a.b.c.d.2 设，则。a.b.c.d.3 设为正向圆周，则积分。a.b.c.d.以上答案都不对。4 设是调和函数，则常数。a.0 b.1 c.2 d.3 5 对于复数项级数，以下命题正确的是 a.级数是条件收敛的 b.级数是绝对收敛的c.级数的和为d... 练习一。一 用复数的代数形式表示下列复数。二 已知w 1 2i,且，求复数z.三 求复数的实部，虚部，模，辐角，共轭复数。四 将复数表示为指数形式和三角形式，并求辐角主值。五 计算，并在复平面上画出这些复数。六 指出下列式子所确定的图形，并作出草图。1 2.re z im z.七 证明 假设。练习二...复变函数试题B
《复变函数》作业
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