高等数学ai 2008.1.21
一、 填空题(每空3分，共18分)
1.函数的自然定义域为 。
2.是函数的第类间断点。
3.设，则 。
4.若。则 。
5.由坐标面上的曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为 。
6.已知向量，，则 。
二、计算题(每小题6分，共36分)
3.试讨论函数在处的可导性。
4.求曲线，在相应的点处的切线和法线方程。
5.设函数由方程所确定，求。
6.确定函数的单调区间及该函数图形的拐点。
三、计算积分(每小题 6分，共18分)
四、解答题(每小题7分，共14分)
1.求曲线、轴及直线三者所围成平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积。
2.求过点且与直线垂直的平面方程。
五、证明与综合题(每小题7分，共14分)
1.设为区间上的正值连续函数，，
证明：方程在区间内有且仅有一个根。
2.已知函数，1) 证明：对任意的，有； (2)试求函数在上的最大值。
答案： 一、1. 2. 第一类间断点 3. -2007! 4. 5. 6. 2
二、计算题(每小题6分，共36分)
3.试讨论函数在处的可导性。
在处不可导因为，左右导数不相等。
4.求曲线，在相应的点处的切线和法线方程。
解对应点， =所以切线方程，法线方程。
5.设函数由方程所确定，求。
解两边对求导整理=
6.确定函数的单调区间及该函数图形的拐点。
解，令驻点。
令，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，拐点。
三、计算积分(每小题 6分，共18分)
四、解答题(每小题7分，共14分)
1.求曲线、轴及直线三者所围成平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积。
解==2.求过点且与直线垂直的平面方程。
解=，由点法式得平面方程为。
五、证明与综合题(每小题7分，共14分)
1.设为区间上的正值连续函数，，
证明：方程在区间内有且仅有一个根。
证明因为在上连续，且。
由零点定理，方程在区间内至少有一个根；
又，在区间内单调递增，故根是唯一的。
2.已知函数，1) 证明：对任意的，有；
证明，所以。
令，，；2)试求函数在上的最大值。
解=在处，，，故在处可导。
令，，，有极大值，，有极小值，所以，函数在上的最大值是。
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