立体几何专项

立体几何专项2019.5.9

3. (12分)如图，四边形abcd是边长为2的菱形，且∠abc＝60°，bm⊥平面abcd，bm∥dn，bm＝2dn，点e是线段mn上任意一点．

1)证明：平面eac⊥平面bmnd；

2)若∠aec的最大值是，求三棱锥m－nac的体积．

2 .解：（1）分别为边的中点，所以………1分。

因为，所以………3分。

又因为所以．……4分。

2）取的中点，连接， 由（1）知，所以平面因为，所以，又因为，平面所以 . 6分。

过作交于，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示8分。

为线段上一动点设，由，得， …9分。

设平面的法向量为，则即取。10分。

设直线与平面所成角，….11分。

直线与平面所成角的正弦值的最大值为………12 分。

3．解 (1)因为bm⊥平面abcd，则ac⊥bm. 又四边形abcd是菱形，则ac⊥bd，所以ac⊥平面bmnd.

因为ac在平面eac内，所以平面eac⊥平面bmnd. …4分。

2)设ac与bd的交点为o，连结eo. 因为ac⊥平面bmnd，则ac⊥oe，又o为ac的中点，则ae＝ce，所以cos∠aec＝＝1－，∠aec∈(0，π)

当ae最短时∠aec最大，此时ae⊥mn，ce⊥mn，∠aec＝，ae＝.…6分。

取mn的中点h，分别以直线oa，ob，oh为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设nd＝a，则点a(1，0，0)，n(0，－，a)，m(0，，2a)，＝1，－，a)，＝1，，2a)．

设平面amn的法向量n1＝(x，y，z)，则取z＝1，则n1＝，同理求得平面cmn的法向量n2＝.

因为∠aec＝是二面角a―mn－c的平面角，则。

cos∠aec|＝＝解得a＝或a＝(舍去)．…10分。

因为mn＝＝＝ae＝，s△eac＝ae2sin ＝×则vm－nac＝vm－eac＋vn－eac＝s△eac·mn12分。

立体几何专项

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